原函數存在定理
原函數存在定理
原函數存在定理為：若f(x)在[a,b]上連續，則必存在原函數。此條件為充分條件，而非必要條件。即若f(x)存在原函數，不能推出f(x)在[a,b]上連續。由於初等函數在有定義的區間上都是連續的，故初等在其定義區間上都有原函數。
需要注意的是初等函數的導數是一定是初等函數，初等函數的原函數不一定是初等函數。
設在上連續，則變上限積分在上可導，且其導數
由導數定義，只需證明
設），給一個改變數，使,則
由積分中值定理，有
其中介於與之間，因正負未知，不確定與的大小。
等式兩端除以，令，取極限
當時，，從而，又在上連續，
所以，
該定理表明，設在上連續，則必存在原函數且原函數為的變上限積分。
設在上連續，在上可導，
則
又在上可導，
設，在處不連續，則必為第二類間斷點（對於考研數學，只能是第二類振蕩間斷點），而非第一類間斷點或第二類無窮間斷點。
當存在第二類振蕩間斷點時，不能確定是否存在原函數，這種情況下結論與的表達式有關。
原函數存在的三個結論：
如果連續，則一定存在原函數；
如果不連續，有第一類可去、跳躍間斷點或第二類無窮間斷點，那麼包含此間斷點的區間內，一定不存在原函數；
如果不連續，有第二類振蕩間斷點，那麼包含此間斷點的區間內，原函數可能存在，也可能不存在。
