解析函數

解析函數analytic function

K.魏爾斯特拉斯將一個在圓盤上收斂的冪級數的和函數稱為解析函數，而區域上的解析函數是指在區域內每一小圓鄰域上都能表成冪級數的和的函數。關於解析函數的不同定義在20世紀初被證明是等價的。基於魏爾斯特拉斯的定義，區域上的解析函數可以看作是其內任一小圓鄰域上冪級數的解析開拓，關於解析開拓的一般定義是，與分別是D與上的解析函數，若DÉ ，且在。則稱 是由到D的解析開拓。解析開拓的概念可以推廣到這樣的情形：與分別是兩個圓盤D1與D2上的冪級數，且 ，在上則也稱f與g互為解析開拓，把可以互為解析開拓的的解析圓盤Δ全連起來，作成一個鏈。它們的並記作Ω，得到了Ω上的一個解析函數，稱它為魏爾斯特拉斯的完全解析函數，這裡可能出現這樣的情形，在連成一個鏈的圓盤中，有一些圓盤重疊在一起，但在這些重疊圓盤的每一個上的解析函數都是不一樣的，它們的每一個都稱為完全解析函數的分支。這樣的完全解析函數實際是一個多值函數。黎曼提出將多值解析函數中的那些重疊的圓盤看作是不同的“葉”，不使他們在求並的過程中只留下一個代表，於是形成了一種稱為黎曼面的幾何模型。將多值函數看作是定義於其黎曼曲面上的解析函數，這樣多值解析函數變成了單值解析函數。

為研究解析函數所不能解決的一般複變函數提供了一個通用方法

解析函數是一類比較特殊的複變函數。200多年來，其核心定理“柯西-黎曼”方程組一直被數學界公認是不能分開的。王見定發現，儘管解析函數已形成比較完善的理論並得到多方面的應用，但自然界能夠滿足“柯西-黎曼”方程組條件的現象很少，使解析函數的應用受到較大的限制。由此，尋找把“柯西-黎曼”方程組分開的途徑，並在1981年以《半解析函數》為題撰寫畢業論文。先後得出了一系列描述半解析函數特性的重要定理。發表了《半解析函數》.《半解析函數開拓》、《與半解析函數定義等價的幾個定理》、《複變函數分解定理》等多篇學術論文，終於初步形成了半解析函數理論。在這個理論中，王見定大膽地將“柯西-黎曼”方程組的兩個方程式分開，將滿足其中任一個方程式的函數定義為半解析函數，從而實現了對解析函數的推廣，為研究解析函數所不能解決的一般函數提供了一個通用的辦法。

解析函數由Cauchy—Rieman方程組確定。今保留其中條件之一而引入半解析函數，得到了一些結果，並找到了半解析函數的物理背景。

1983年王見定教授在世界上首次提出半解析函數理論，1988年又首次提出並系統建立了共軛解析函數理論；並將這兩項理論成功地應用於電場。磁場。流體力學。彈性力學等領域。此兩項理論受到眾多專家。學者的引用和發展，並由此引發雙解析函數。復調和函數。多解析函數（k階解析函數）.半雙解析函數。半共軛解析函數以及相應的邊值問題。微分方程。積分方程等一系列新的數學分支的產生。

共軛作為一個符號早年早有，但作為一個“共軛解析函數類”，王見定教授世界首次提出。任何一個學過複變函數的人都知道，複變函數的求導。積分都是仿實變函數的求導。積分形式推導出來的。解析函數之所以有價值，就在於它在電場。磁場。流體力學。彈性力學等方面的應用。但仔細考查，以上的應用都是共軛解析函數的直接應用，而非解析函數。共軛導數。共軛積分都有明確的物理。力學上直接含義（而解析函數沒有）。僅這一點王見定教授使西方數學大家示弱。共軛解析函數是和解析函數完全對稱的一類函數，這使得複變函數變得完美，眾人皆知對稱是科學的一個普遍的美。再者由於有了共軛解析函數類的提出，解析函數與共軛解析函數的不同組合才形成了復調和函數。雙解析函數。多解析函數...及相應的微分方程。積分方程等一系列新的數學分支的產生。

尋求滿足一定邊界條件的解析函數的一類問題，這是解析函數論在許多理論和實際問題中應用極為廣泛的一個重要分支。下面是兩個最典型的例子。

設l為複平面上一組有向的光滑曲線，把平面分割為若干個連通區域，要求一分區全純函數(即在上述每一個連通區域內全純）φ(z)使 (1)式中G(t),g(t)都是已知函數，而φ +(t)和φ -(t)分別表示當z從l的正側（即沿l正向前進時的左側）和負側(右側)趨於l上一點時φ(z)的極限值亦即邊值。此外還應補充要求φ(z)在無窮遠處至多有一極點。如果l中含有開口弧段，則也應說明要求φ(z)在l的端點附近的性態：具有不到一階的奇異性。在G(t),g(t)滿足一定的條件時，這一問題已完全解決。

（1）

設G為一區域，l為其邊界，取其正向使G在其左側，要求在G內的一全純函數φ(z)，使 (2)式中α(t)，b(t),с(t)都是l上已給的實函數。特別，當α(t)=1,b(t)=0時，則此希爾伯特邊值問題就是解析函數的狄利克雷問題。當α(t),b(t),с(t)滿足一定的條件時，上述邊值問題已有較完整的討論，但對G為多連通區域的情況還不能說已完全徹底解決。

有人把黎曼邊值問題稱作希爾伯特邊值問題，而把希爾伯特邊值問題稱作黎曼－希爾伯特邊值問題。這兩個問題是有密切聯繫的，求解它們的主要工具都是柯西型積分。進一步推廣是在(1)或(2)中可以含有或者含有,，其中α(t)為l映於自身的一個同胚映射，保向或逆向，稱為l的位移。這樣，相應的問題就稱為帶共軛的或帶位移的邊值問題，當然也有既帶共軛又帶位移的邊值問題。

如果把(1)或(2)中的φ(z)看作N維分區全純向量，而把G(t),α(t),b(t)看作N×N矩陣,g(t),с(t)也看作N維向量，則就構成了分區全純向量的邊值問題。這類問題雖也有許多工作，但與N=1的情況相比較，還遠遠沒有達到完善的地步。

由於解析函數概念可推廣為廣義解析函數（基於把解析函數的實部、虛部所滿足的柯西－黎曼方程組推廣為較一般的一階偏微分方程組），因此解析函數邊值問題也可推廣為廣義解析函數邊值問題，這是把函數論與偏微分方程結合起來的一個方向。

若函數f(z)在點z0不解析，但在z0任一鄰域內總有f(z)的解析點，則稱z0為f(z)的奇點。

單連通域內解析函數的環路積分為0。

復連通域內，解析函數的廣義環路積分（即包括內外邊界，內邊界取順時針為正）為0。

解析函數的導函數仍然是解析函數。

證明：設p為不是常數的復係數多項式，假設p沒有複數根，則1/p是C上的解析函數。並且當z →∞時，p(z)→∞，或1/p→0，因此1/p是C上的有界解析函數，依據Liouville定理，任何這樣的函數都是常函數，

但若1/p是常數，那麼p是常數，這與p不是常數的假設矛盾。

解析函數邊值問題和廣義解析函數邊值問題在奇異積分方程方面有廣泛的應用，它們在彈性力學、流體力學方面也有重要的應用。這些方面的理論及其應用，主要是由蘇聯學者建立和發展起來的。自20世紀60年代以來，中國的數學工作者在這些方面也做了不少工作。