高等彈性力學

王敏中，北京大學力學與工程科學系教授、博士生導師，1962年畢業於北京大學數學力學系。主要研究方向為：數學彈性力學、壓電介質彈性力學和複合材料力學，在國內外各種雜誌上已發表了論文90餘篇。曾擔任過數學分析、理論力學、彈性力學、高等彈性力學和斷裂力學等課程的教學工作。已出版的著作有：《彈性力學引論》和《彈性力學教程》（皆與武際可、王煒合作）。

著者根據多年來在北京大學力學係為本科生講授“高等彈性力學”課程講稿的基礎上編寫成本書。此書系統地介紹了20世紀下半葉數學彈性力學在理論上的一些進展，例如：彈性通解及其完備性、二維各向異性彈性力學的Stroh理論、軸對稱問題Aлekcahцapob復變解法、Mindlin問題、發散積分的有限部分和Radon變換在彈性力學中的應用、板的精化理論、Beltrani-Schaefer應力函數、Sternberg-Eubanks意義下的集中力、各種邊界積分方程、Kupradze彈性勢論、Saint-Venant原理的精確敘選和嚴格證明，以及板的Gregory邊界條件和Eshelby問題等。書後的參考文獻可供讀者深入研究相關課題。本書敘述嚴謹簡潔，深入淺出，引人入勝，易於閱讀。

本書可作為大學力學系研究生的教材，也可作為土木、機械等系研究生的參考教材；同時也可供從事相關專業教學與研究的教師和科研工作者參考。

第一章 彈性通解

§1 彈性力學的邊值問題

§2 Boussinesq-Galerkin通解

§3 Papkovich-Neuber通解

3.1 P-N通解

3.2 Kelvin特解

3.3 B-G解完備性的Sternberg-Gurtin證明

§4 Tep Мкртичъян-Naghdi-Hsu通解

§5 B-G解，P-N解和TNH解之間的關係

§6 P-N通解的不唯一性

6.1 P-N通解的不確定程度

6.2 P0可省略的條件

6.3 P的一個分量可省略的條件

§7 B-G解的不唯一性

§8 各向異性彈性力學問題的通解

8.1 運算元方程

8.2 通解

8.3 若干引理

8.4 通解的完備性

8.5 通解的不唯一性

8.6 例：各向同性彈性力學的B-G解

§9 橫觀各向同性彈性力學問題的通解

9.1 方程和通解

9.2 運算元的分解

9.3 具“約束”的通解

9.4 Lekhnitskii-胡-Nowacki通解

9.5 Elliott-Lodge通解

§10 附註和推廣

第二章 平面問題

§1 引言

§2 勢函數的省略問題

§3 共軛形式的通解

§4 Airy-Schaefer應力函數

§5 Мусхелишвили復變公式

§6 Векуа-Мусхелишвили特解公式

§7 二維各向異性彈性力學的Stroh公式

§8 Barnett-Lothe矩陣及其積分公式

8.1 Barnett-Lothe矩陣

8.2 Barnett-Lothe積分公式

§9 橢圓孔

9.1保角映射

9.2 全純矢量函數的邊值問題

9.3 具有橢圓孔的全平面之拉伸

9.4 剛性線

第三章 軸對稱問題

§1 軸對稱共軛調和函數

§2 軸對稱問題的B-G解和P-N解

§3 Boussinesq解，Timpe解，Love解和Michell解

§4 軸對稱共軛形式的解

§5 軸對稱問題與平面問題之間的聯繫

§6 Abel變換

6.1 Abel變換的定義

6.2 調和函數的Abel變換

6.3 軸對稱共軛調和函數的複數表示

§7 軸對稱位移的複數表示

§8 軸對稱問題應力分量的複數表示

8.1 軸對稱應力的複數表示

8.2 應力邊界條件

§9 球的軸對稱應力邊值問題

§10 橫觀各向同性彈性力學軸對稱問題的通解

10.1 矢量方程

10.2 廣義的B-G通解和廣義的P-N通解

10.3 廣義軸對稱B-G通解

10.4 丁-徐解，Lekhnitskii解和Elliott解

§11 橫觀各向同性彈性力學軸對稱問題的復變方法

第四章 半空間問題和厚板問題

§1 集中力作用在彈性半空間內

1.1 Lorentz問題

1.2 Mindlin問題

1.3 混合問題A

1.4 混合問題B

§2 集中力作用在彈性半平面內

§3 從空間問題的解導出平面問題的解——發散積分之有限部分的應用

§4 從平面問題的解到空間問題的解——Radon變換的應用

4.1 Radon變換

4.2 Radon逆變換

4.3 彈性力學方程組的Radon變換

4.4 例： Kelvin基本解

§5 具有半平面裂紋的無限空間

5.1 P-N通解的變形

5.2 對稱載荷

5.3 Конторович-Лебедев變換

5.4 幾個積分公式

5.5 Конторович-Лебедев變換的應用

§6 板的精化理論

6.1 板的各種理論

6.2 位移和應力的表達式

6.3 公式(6.21)的證明

6.4 方程(6.10)的推導

第五章 應力函數

§1 Beltrami-Schaefer應力函數

§2 Beltrami-Schaefer解的完備性

2.1完備性定理

2.2 廣義逆矩陣的應用

§3 自平衡場和Beltrami解

§4 Maxwell解和Morera解

§5 Блох應力函數

§6 以應力表示的彈性力學方程組的積分

§7 位移的表示

7.1 解法一

7.2 解法二

§8 矢量分析的相關命題

第六章 彈性勢論

§1 Kelvin基本解

1.1 Sternberg-Eubanks集中力

1.2 基本解定理

1.3 定理1.1的反例

1.4 基本解的性質

1.5 二重奇異解

1.6 基本解的應力場

§2 互易公式

§3 Somigliana公式，邊界積分方程

3.1 Somigliana公式

3.2 邊界積分方程

3.3 C矩陣

3.4 梯度，散度和旋度的Somigliana表示式

§4 Green函數和Lauricella公式

4.1 Green函數

4.2 Green函數的對稱性

4.3 Lauricella公式

4.4 位移梯度，散度和旋度的Lauricella公式

§5Brebbia間接公式和間接邊界積分方程

5.1 間接公式

5.2 Brebbia間接積分方程

§6 Kupradze彈性勢論和邊值問題的存在性

6.1 Kupradze彈性勢論

6.2 彈性力學邊值問題的存在性

§7 中值公式與局部邊界積分方程

7.1 中值公式

7.2 逆定理

7.3 γik的一個中值定理

7.4 局部邊界積分方程

§8 勢論與通解

§9 Schwartz交替法

§10 偽應力及其應用

10.1各向同性體的偽應力

10.2 各向異性體的偽應力

10.3 橫觀各向同性彈性力學位移邊值問題的唯一性

第七章 Saint-Venant原理

§1 Saint-Venant原理的Boussinesq表述

§2 Toupin定理

2.1 Toupin定理的敘述

2.2 定理2.1的證明

2.3 定理2.2的證明

2.4 附錄

§3 Knowles定理

3.1 Knowles定理的敘述

3.2 兩個引理

3.3 定理3.1的證明

3.4 關於衰減指數k

§4 半無限條

4.1 問題的提出

4.2 矩陣形式

4.3 級數解

4.4 雙正交系

4.5 係數an的確定

§5 半無限圓柱

5.1 問題的提法

5.2 本徵展開

5.3 雙正交關係

5.4 係數ak的確定

§6 板的邊界條件

6.1 板的衰減狀態

6.2 衰減狀態的必要條件

6.3 圓板軸對稱彎曲

6.4 圓板軸對稱衰減狀態的分析解

第八章 Eshelby問題

§1 本徵應變

§2 界面上位移矢量和應力矢量的連續性

2.1 位移矢量在界面上的連續性

2.2 界面上應力矢量的連續性

2.3 位移梯度張量跳躍的Hill公式

2.4 各向同性情形

§3 橢球核

§4 Eshelby張量

§5 Routh公式

§6 外點的應變場

§7 熱應力

§8 不均勻性和空洞

§9 裂紋

§10 位錯

§11 光滑界面的Eshelby問題

11.1橢球坐標

11.2 Lamé函數

11.3 光滑界面問題

參考文獻

參考文獻引用索引

名詞索引