阿耶波多

阿耶波多是迄今所知最早的印度數學家．他的出生地拘蘇摩補羅距現今的巴特拉不遠．巴特拉在當時叫華氏城(Pātaliputra)，是一座有名的古城．釋迦牟尼晚年曾行教至此．華氏城先後是孔雀王朝、笈多王朝的都城．公元5世紀初，即阿耶波多出生前近一個世紀，中國的高僧法顯曾在該城的佛教寺院里從事學術活動．

他受教育於柯蘇布羅城，499年著《 阿耶波多文集》，全書分四部分，由118行詩組成。此書長期失傳，至1864年印度學者勃豪·丹吉始獲抄本。阿耶波多改進了希臘托勒密的工作，用幾何方法算得正弦表，在三角學史上佔有重要地位。

1976年，為紀念阿耶波多誕生1500周年，印度發射了以阿耶波多命名的第一顆人造衛星。

阿耶波多（Aryabhata）是第一位在古典印度數學及天文領域有記載的數學家及天文學家。

他最著名的著作有《阿耶波多集》以及《雅利安悉檀多》。

根據阿里亞哈塔曆書，阿耶波多於印度紀元中的卡利紀（Kali Yuga）3,600年（公元前499年）寫成該書，當時他23歲。這表示他出生於公元前476年。阿耶波多並未說明其出生地點。唯一的相關信息來自婆什迦羅第一，他描述阿耶波多為“āśmakīya”，亦即“屬於阿薩瑪卡國的人”。在佛陀在世期間，有一支阿薩瑪卡人住在訥爾默達河和哥達瓦里河之間，阿耶波多被認為是出生於該地。但也有部分學者認為阿耶波多出生在喀拉拉邦的科東格阿爾盧爾，並提出一些天文上的證據來支持其論點。

阿耶波多曾前往庫什馬布拉（Kusumapura）進修，並在那裡生活了一段期間。根據印度教與佛教傳統，以及包含婆什迦羅第一的一些學者，皆認為庫什馬布拉就是巴連弗邑，也就是現在的巴特那。有段詩句提及阿耶波多曾領導一所位於庫什馬布拉的學院（kulapa），而由於當時那爛陀大學位於巴連弗邑，而且設有天文觀測站，因此有學者推測阿耶波多也曾領導那爛陀大學。阿耶波多也曾在位於比哈爾邦塔熱嘎那的一間太陽神廟建立一座天文觀測站。

解釋日食與月食的成因、地球自轉、月球反射光、正弦函數、一元二次方程解、圓周率小數點后4位近似、99.8%精確度的地球周長、恆星年的長度

阿耶波多生於公元476年，對於他的出生地史上沒有明確記載。

阿耶波多曾在庫斯馬波拉進行高等學習並在該城市居住過一段時期。有詩文記載阿耶波多曾是庫斯馬波拉的一個社會組織（kulapa）的首領，並且由於納蘭陀大學在當時一座天文觀察台，所以人們推斷阿耶波多也在該大學擔任一定的職位。阿耶波多也被認為在比哈爾的太陽寺修建過一座天文台。

被在公元3世紀首次使用的數位體系也出現在阿耶波多的著作中。雖然他沒有開始使用符號，但法國數學家喬治 愛法爾認為阿耶波多在他的著作中暗示了將0作為10的指數運用在係數為1的變數前。

然而，阿耶波多並沒有使用婆羅米文中的數學符號，他使用了字母表中的字母去代表數字。

也致力於推算π的近似值，並得出結論π是無窮的。這在其著作的第二章被提到。阿耶波多給出三角形的面積定義為：三角形中垂線與垂足所在邊的一半的乘積。他使用了kuṭṭaka (कुट्टक) 方法去解決丟番圖方程的一級問題。

在代數方面，阿耶波多給出了有關整數的平方和立方求和的公式：

1²+2²+3²+···+n²=(1/6)n(n+1)(2n+1)

1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^2

阿耶波多曾進行圓周率之估計，並有可能得出圓周率值是無理數的結論。在《阿里亞哈塔曆書》的第二部分，阿耶波多寫道：

原文：

“caturadhikam śatamaṣṭaguṇam dvāṣaṣṭistathā sahasrāṇām

ayutadvayaviṣkambhasyāsanno vṛttapariṇāhaḥ.”

翻譯：

“ 4加上100，再乘以8，再加上62,000，按此規則可逼近直徑為20,000的圓之周長值。 ”

這表示圓周率的值，也就是圓周與直徑的比，是（圖一），其精確度達5個有效數字。有學者推斷，阿耶波多使用“逼近”（āsanna）一詞，可能不僅為了表示這是估計值，而是有意表示他是個無理數。相較之下，在歐洲，圓周率是無理數的證明由約翰·海因里希·朗伯在1761年發表。

在《阿里亞哈塔曆書》於公元820年被翻譯成阿拉伯文之後，這個估計值被花拉子米所著之代數書籍中被提及。

在《阿里亞哈塔曆書》中的〈算數〉（Ganitapada）篇第6回，阿耶波多描述三角形的面積計算方式：

原文：

“ tribhujasya phalashariram samadalakoti bhujardhasamvargah ”

翻譯：

“對於一個三角形，底的一半與高的乘積即為其面積”

阿耶波多也在該書中討論正弦函數的概念，稱之為“ardha-jya”，字面上為半弦之意。爾後，人們逐漸將其簡稱為“jya”。爾後其著作從梵文被譯為阿拉伯文，該函數名則被譯成“jiba”。然而，在阿拉伯文書寫體系中母音被省略，於是該詞變成了“jb”。到了12世紀，克雷莫納的傑拉德將該書從阿拉伯文翻譯成拉丁文時，因為“jiba”在阿拉伯文中沒有對應的意義而誤以為該字為“jaib”，意為“口袋”或“襞”。於是便譯為拉丁文的對應詞“sinus”，意為“海灣”，最後便演變為如今正弦函數的英文名“sine”。餘弦函數（kojya，英語：cosine）亦是如此。

在《阿里亞哈塔曆書》中，阿耶波多推導出以下平方與立方級數求和之結果（圖二） ：

阿耶波多認為，月球與行星並不會自行發光，而是反射太陽光。此外，他也解釋了日月食的成因，說明日食是月球落在地球上的陰影、月食是地球落在月球上的陰影造成的。他也討論了地球陰影的大小和範圍，並計算出日月食的規模。後事的印度天文學家更基於阿耶波多的基礎上，將預測做得更加精確。他們的計算是如此的精確，以至於18世紀科學家紀堯姆·勒讓蒂爾造訪印度本地治里時發現印度人對1765年8月30日月食的持續時間只比實際短了41秒，而他手上的預測表【註釋②】則長了68秒。

若使用現今公制單位，阿耶波多當時求得之恆星日【註釋③】長度為23小時56分4.1秒，而現代測得之精確值為23小時56分4.091秒。另外，阿耶波多求得之恆星年【註釋④】長度為365天6小時12分30秒（365.25858天） ，只與現代測量值（365.25636天）相差3分20秒。

印度的第一顆人造衛星：阿耶波多人造衛星。

月球上的隕石坑：阿耶波多隕石坑。

鄰近印度奈尼塔爾的阿耶波多觀測科學研究學院（ARIES） 。

印度空間研究組織在平流層發現的細菌：阿耶波多芽孢桿菌（學名：Bacillus aryabhata） 。

阿耶波多知識大學（AKU）：印度比哈爾邦的一所大學。

①常被誤拼為Āryabhatṭa，因為許多印度人名常有"bhatta"後綴。然而，他的名字正確拼寫應為Āryabhata 。

②托比亞斯·梅耶於1752年寫成。

③地球相對遠方恆星的自轉周期。

④地球相對遠方恆星、繞太陽公轉的周期。