代數曲線
代數曲線
代數曲線，又稱緊黎曼面。淺出地介紹了正則化定理，Riemann-Roch定理，Abel定理等代數曲線論的重要結果，以及這些定理的應用和重要的幾何事實。虧格為2的黎曼曲面的超橢圓的，而虧格g的超橢圓黎曼曲面可實現為2g+2次平面曲線，這樣就是六次曲線了，難道沒有虧格為2就不能緊緻嗎代數曲線是代數幾何學中研究得最多的對象。在下文中，代數曲線是指代數閉域上的不可約代數曲線. 最簡單也是最清楚的是平面仿射代數曲線。它是仿射平面A;內滿足方程f(x，y)=o的點集，這裡f(x， y)是係數在代數閉域k里的多項式.k上不可約代數曲線的有理函數。
代數曲線，又稱緊黎曼面。它是緊的2維定向實流形，也就是復的一維流形。代數曲線是代數幾何中最簡單的一類研究對象。
每條代數曲線都自帶了一個數值不變數－－－虧格g. 從實流形角度看，虧格就是其上“洞”的個數。
比如：
g=0 就成為射影直線；
g=1 稱為橢圓曲線；
g=2 超橢圓曲線。。。。。。等等
比如
g=0的曲線模空間是由一個點組成；
g=1的曲線模空間是上半平面。。。。。。等等
曲線的模空間是代數幾何里最重要的一類幾何對象。
半純函數的零點和極點的集合是由有限個點組成。我們把這個集合稱為主除子。更一般的，我們可以定義除子的概念，這裡不再詳述。
與其相關的一個重要結果就是所謂的Riemann－Roch 定理。這個定理把分析和拓撲巧妙的聯繫起來，揭示出兩者間的深刻關係。