等角螺線

臂距離以幾何級數遞增的螺線

等角螺線,指的是臂的距離以幾何級數遞增的螺線。設 L 為穿過原點的任意直線,則 L 與等角螺線的相交的角A永遠相等(故其名),而此值為 arccot(b)。

定義


等角螺線、對數螺線或 生長螺線是在自然界常見的螺線,在極坐標系(r, θ)中,這個曲線可以寫為
因此叫做“對數”螺線

定理


等角螺線
等角螺線
推出: ,推出:角。設 C 為以原點為圓心的任意圓,則 C 與等角螺線的相交的角永遠相等,而此值為,名為「傾斜度」
等角螺線是自我相似的;這即是說,等角螺線經放大后可與原圖完全相同。
等角螺線的漸屈線和垂足線都是等角螺線。
從原點到等角螺線的任意點上的長度有限,但由該任意點出發沿等角螺線走到原點卻需繞原點轉無限次。這是由 Torricelli 發現的。(指數函數的取值範圍為負無窮到正無窮,x軸是漸近線,因此極徑r永遠不會等於0,也即無法到達原點o)

建造等角螺線


在複平面上定義一個複數,其中,那麼連起 的曲線就是一條等角螺線。
若 L 是複平面中的一條直線且不平行於實數或虛數軸,那麼指數函數 會將這些直線映像到以 0 為中心的等角螺線。
等角螺線
等角螺線
使用黃金長方形:

自然現象


鸚鵡螺的貝殼像等角螺線
菊的種子排列成等角螺線
鷹以等角螺線的方式接近它們的獵物
昆蟲以等角螺線的方式接近光源
蜘蛛網的構造與等角螺線相似
旋渦星系的旋臂差不多是等角螺線。銀河系的四大旋臂的傾斜度約為。
低氣壓(熱帶氣旋溫帶氣旋等)的外觀像等角螺線

歷史


等角螺線是由笛卡兒在1638年發現的。雅各布.伯努利後來重新研究之。他發現了等角螺線的許多特性,如等角螺線經過各種適當的變換之後仍是等角螺線。他十分驚嘆和欣賞這曲線的特性,故要求死後將之刻在自己的墓碑上,並附詞「縱使改變,依然故我」(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻師誤將阿基米德螺線刻了上去。
等角螺線又稱為對數螺線。