範疇

一個範疇C，是由以下要素組成：

（1）一些對象（通常用大寫字母 等表示）構成的一個類；

（2）由所有的集合 構成的族，這裡 取遍 中的所有對象。中的元素f稱為從A 到 B的態射（morphism），記為；

（3）對於 中任意三個對象，存在二元運算元，成為態射的複合，記 和 的複合為 或，使得下面的公理成立：

（i）（結合律）如果有，和，則；

（ii）（單位元）對每個對象A，有單位態射，使得對任意的，有，且對任意的，有。

範疇 中的一個態射 被稱為同構，如果存在一個態射，使得， 。這時，我們也稱對象 A和B 是同構的。一個廣群是一個範疇，滿足其中任意態射都是同構。

一個範疇 被成為小範疇（small category），如果它的對象類 是一個集合。一個範疇 被稱為基本小（essentially small），如果它的對象的同構類是一個集合。顯然小範疇總是基本小的。

每一範疇都可由其物件、態射和態射複合來表示。

1.所有集合的範疇Set，其態射為集合間的函數，而態射複合則為一般的函數複合。（下列皆為具體範疇的例子，即在Set上加入一些結構，且要求態射為對應於此附加結構的函數，態射複合則為簡單的一般函數複合。）

1) 所有預序關係的範疇，其態射為單調函數；

2) 所有原群的範疇，其態射為原群間的同態。

3) 所有群的範疇，其態射為群間的群同態；

4) 所有阿貝爾群的範疇，其態射為群間的群同態；

5) 所有環的範疇，其態射為環同態。

6)所有於體K（維持固定）上的向量空間的範疇，其態射為線性映射；

7) 所有拓樸空間的範疇，其態射為連續函數；

8) 所有度量空間的範疇，其態射為度量映射；

9) 所有一致空間的範疇，其態射為一致連續函數；

10) 所有光滑流形的範疇，其態射為 次連續可微映射；

11) 所有小範疇的範疇，其態射為函子；

12) 所有集合的範疇，其態射為關係。

2. 任意一個偏序集 構成一個範疇，對象是P 中的元素，存在一個從 到 的態射當且僅當。恆等態射和態射的複合由偏序的自反性和傳遞性給出。這是一個小範疇。

3. 任一幺半群都會形成一個具單一個物件x 的小範疇（此處的x是任一個固定的集合）。從 至 的態射恰好是幺半群的元素，且其態射複合由幺半群的運算所給定。幺半群令態射絕不可能為函數，唯一從單元素集合x至x的函數為當然函數。可視範疇為廣義化了的幺半群；一些和幺半群有關的定義和定理也可能可以義廣化成範疇的定義和定理。

4. 任一有向圖都會產生一個小範疇：其物件為圖的頂點，態射為圖中的路徑，而態射複合則為路徑的串接。這被稱之為由圖產生出的“自由範疇”。

5.若I是一個集合，“在 I上的具體範疇”會是個小範疇，其物件為的元素，而態射則只有單位態射。當然，其態射複合的公理是必然滿足的。

6.任一範疇 C皆可以另一種方式被視為是一個新的範疇：其物件和原範疇的一樣，但態射則和原範疇相反。這被稱之為對偶範疇，標記為。

7.若 C和 D為範疇，可形成一“積範疇” ：其物件為由 C和D 內的物件所組成的對，且態射亦為由C 和 D內的態射所組成的對。這些對的態射複合是由各元素各自複合。

1.在許多範疇中，例如阿貝爾群範疇或向量空間範疇，態射集合 不僅是集合，而且還是阿貝爾群，並且態射的複合與這些阿貝爾群之間的群結構兼容，即複合映射是雙線性的。這種範疇稱為預可加範疇。如果在此基礎上這個範疇還帶有所有有限積和上積，那麼我們稱之為可加範疇。如果更進一步地，所有態射都有核和上核，並且每個滿態射都是上核而每個單態射都是核，那麼我們稱之為阿貝爾範疇。阿貝爾範疇的典型例子是阿貝爾群的範疇。

2.範疇是完備的當其擁有所有極限。集合、阿貝爾群、拓撲空間的範疇都是完備的。

3.範疇是笛卡爾閉的當其擁有所有有限直積、且有限積上的態射總是可由任一因子上的態射確定。笛卡爾閉範疇包括 和，即完全偏序和斯科特連續函數組成的範疇。

4.拓撲斯是一種特定的笛卡爾閉範疇；所有數學內容都可以用拓撲斯的語言形式化（正如所有經典數學都可以用集合範疇的語言形式化一般）。拓撲斯也可用於表示邏輯理論。