坐標變換公式
解析幾何中坐標變換的公式
坐標變換公式(formula of a coordinates transformation)是線性空間的向量關於不同基的坐標之間的關係式，是解析幾何中(不變原點的)坐標變換公式的推廣。
設V是域P上n維線性空間，且與皆是的基，於是有：
以關於基的坐標()為第i列構成的n階矩陣()稱為由基，到基的過渡矩陣，若關於基與基的坐標分別為()與()，則其兩坐標間的關係，可由過渡矩陣()表示為
上式稱為坐標變換公式。
設 和 是線性空間中的兩個基，並且 (1)
式(1)可表示為
即
其中
（（2）式中A應為A的轉置）式(1)或式(2)稱為基變換公式，矩陣 A稱為由基 到基 的過渡矩陣。
注意：式(1)中各式的係數 實際上是基向量 在基 下的坐標。
坐標變換公式及其證明：
定理1設中一向量ξ在兩個基 和 下的坐標分別是 和，若兩個基滿足關係式(2) ，則有坐標變換公式：
證明：因為
故由坐標的唯一性，得
反之，設 是線性空間的一個基，A是n階可逆矩陣，使得
成立，可以證明: 是的n個線性無關的向量，從而也是的一個基。
證明若數 使，
即
因為 線性無關，故必有
但 A可逆，即，齊次線性方程組只有零解，必有，線性無關。
