自由電子能級

19世紀末20世紀初，人類開始走進微觀世界，物理學家提出了許多關於原子機構的模型，這裡就包括盧瑟福的核式模型。核式模型能很好地解釋實驗現象，因而得到許多人的支持；但是該模型與經典的電磁理論有著深刻的矛盾。

電子繞核轉動具有加速度，加速運動著的電荷(電子)要向周圍空間輻射電磁波，電磁波頻率等於電子繞核旋轉的頻率，隨著不斷地向外輻射能量，原子系統的能量逐漸減少，電子運動的軌道半徑也越來越小，繞核旋轉的頻率連續增大，電子輻射的電磁波頻率也在連續地變化，因而所呈現的光譜應為連續光譜。由於電子繞核運動時不斷向外輻射電磁波，電子能量不斷減少，電子將逐漸接近原子核，最後落於核上，這樣，原子應是一個不穩定系統。實驗事實原子具有高度的穩定性，即使受到外界干擾，也很不易改變原子的屬性；且氫原子所發出的光譜為線狀光譜，與經典電磁理論得出的結論完全不同。

丹麥物理學家尼·波爾與1913年提出了自己的原子結構假說，認為圍繞原子核運動的電子軌道半徑只能取某些分立的數值，這種現象叫軌道的量子化，不同的軌道對應著不同的狀態，在這些狀態中，儘管電子在做高速運動，但不向外輻射能量，因而這些狀態是穩定的。原子在不同的狀態下有著不同的能量，所以原子的能量也是量子化的。

由波爾的理論發展而來的現代量子物理學認為原子的可能狀態是不連續的，因此各狀態對應能量也是不連續的，這些能量值就是能級。

為了描述原子中電子的運動規律，Schrödinger提出了一種波動方程，現在我們稱為Schrödinger方程。這個偏微分方程的數學解很多，但從物理意義看，這些數學解不一定都是合理的。為了得到原子中電子運動狀態合理的解，必須引用只能取某些整數值的三個參數，稱它們為量子數（下面第四個也是，但不是從Schrödinger方程求出的）。

（1）主量子數n

n相同的電子為一個電子層，電子近乎在同樣的空間範圍內運動，故稱主量子數。當電子層符號分別為K,L,M,N,O,P,Q。當主量子數增大，電子出現離核的平均距離也相應增大，電子的能量增加。例如氫原子中電子的能量完全由主量子數n決定：

（2）角量子數l

角量子數l確定原子軌道的形狀並在多電子原子中和主量子數一起決定電子的能級。電子繞核運動，不僅具有一定的能量，而且也有一定的角動量M，它的大小同原子軌道的形狀有密切關係。例如時，即時說明原子中電子運動情況同角度無關，即原子軌道的軌道是球形對稱的；如時，其原子軌道呈啞鈴形分佈；如時，則呈花瓣形分佈。對於給定的n值，量子力學證明l只能取小於n的正整數：

（3）磁量子數m

磁量子數m決定原子軌道在空間的取向。某種形狀的原子軌道，可以在空間取不同方向的伸展方向，從而得到幾個空間取向不同的原子軌道。這是根據線狀光譜在磁場中還能發生分裂，顯示出微小的能量差別的現象得出的結果。磁量子數可以取值：

（4）自旋量子數ms

直接從Schrödinger方程得不到第四個量子數——自旋量子數ms，它是根據後來的理論和實驗要求引入的。精密觀察強磁場存在下的原子光譜，發現大多數譜線其實由靠得很近的兩條譜線組成。這是因為電子在核外運動，還可以取數值相同，方向相反的兩種運動狀態，通常用↑和↓表示。每個軌道最多可容納兩個自旋相反的電子。

例子：s只有一個軌道，形狀位球型，容納兩個自旋相反電子

p有三個軌道，形狀為啞鈴狀，對應著空間直角坐標系的三條軸

d有五個軌道，形狀為花瓣狀有xy,yz,zx,,五條軌道

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