對稱多項式

例1分解因式

分析 這是一個二元對稱式，二元對稱式的基本對稱式是,任何二元對稱多項式都可用,表示，如，二元對稱多項式的分解方法之一是：先將其用表示，再行分解.

解 ∵

∴原式

例2分解因式

此題中若將式中的b換成a,c換成b,a換成c，即為，，原式不變，這類多項式稱為關於a、b、c的輪換對稱式，輪換對稱式的因式分解，用因式定理及待定係數法比較簡單，下面先粗略介紹一下因式定理，為了敘述方便先引入符號f(x）、f(a）如對一元多項式可記作,f(a）即表示當時多項式的值，如時多項式的值為，當時多項式的值為.

如果時多項式f(x）的值為零，即，則f(x）能被整除（即含有之因式）.

如多項式，當時，，即f(x）含有的因式，事實上.

證明 設,

若，則

,

由於,

∴

對於多元多項式，在使用因式定理時可以確定一個主元，而將其它的元看成確定的數來處理.

現在我們用因式定理來解例題.

解 這是一個含有a、b、c三個字母的三次多項式，現以a為主元，設，易知當a=b和a=c時，都有f(a)=0，故a-b和a-c是多項式的因式，而視b為主元時，同理可知b-c也是多項式的因式，而三次多項式至多有三個因式故可設，其中k為待定係數，令,,可得.

∴

例3分解因式.

分析 這是一個關於a、b、c的四次齊次輪換多項式，可用因式定理分解，易知,,是多項式的三個因式，而四次多項式還有一個因式，由輪換對稱性可知這個一次因式應是，故可設（其中k為待定係數），取，,,可得，所以

原式.