佐恩引理

佐恩引理（Zorn's Lemma）也被稱為庫那圖斯克-佐恩引理（Kuratowski-Zorn），是集合論（Set Theory）中一個重要的定理。

在任何一個非空的偏序集中，如何任何鏈（即一個全序子集）都有上界，那麼這個偏序集必然存在一個最大元素。

佐恩引理是以數學家佐恩（Max Zorn）的名字命名的。

具體來說，假設$(P,\; \backslash le)$是一個偏序集，它的一個子集$T$稱為是一個全序子集，如果對於任意的$s,\; t\; \backslash in\; T$，$s\; \backslash le\; t$或$t\; \backslash le\; s$二者中有且僅有一個成立。而$T$稱為是有上界的，如果$P$中存在一個元素$u$，使得對於任意的$t\; \backslash in\; T$，都有$t\; \backslash le\; u$。在上述定義中，並不要求$u$一定是$T$中的元素。而一個元素$m\; \backslash in\; T$稱為是最大的，如果$x\; \backslash in\; T$且$x\; \backslash ge\; m$，則必然有$x\; =\; m$。

佐恩引理，良序定理（well-ordering theorem）和選擇公理（axiom of choice）彼此等價，在集合論的Zermelo-Fraenkel公理（Zermelo-Fraenkel axiom of set theory）基礎上，上述三者中從任一出發均可推得另外兩個。佐恩引理在數學的各個分支中都有重要地位，例如在證明泛函分析（Functional Analysis）的罕-巴那赫定理（Hahn-Banach Theorem）、斷言任一向量空間必有基，拓撲學中證明緊空間的乘積空間仍為緊空間的Tychonoff定理，和抽象代數中證明任何環必然有極大理想和任何域必然有代數閉包的過程中，佐恩引理都起到了關鍵性作用。

佐恩引理的一個典型應用是證明任何一個環$R$必然有極大理想。用$P$來表示$R$的所有真理想（即$R$的所有雙邊理想，且該理想是$R$的真子集）。在$P$中引入一個偏序，定義為集合的包含關係，那麼$P$中必然有一個極大元素，並且這個元素是$R$的真子集，從而$R$有一個極大理想。

為了應用佐恩引理，需要證明$P$的任何一個全序子集$T$都有一個上界，即存在一個理想$I$滿足$I\; \backslash subset\; R$並且$I$比$T$中任何一個元素都大，但$I$並非$R$本身。現取$I$為$T$中所有理想的並。可以證明，$I$是一個理想：如果$a$和$b$是$I$中的兩個元素，那麼必然存在$T$中兩個理想$J,\; K\; \backslash in\; T$滿足$a\; \backslash in\; J,\; b\; \backslash in\; K$。注意$T$是一個全序集，所以必然有$J\; \backslash subset\; K$或者$K\; \backslash subset\; J$，從而必然有$a,\; b\; \backslash in\; J$或$a,\; b\; \backslash in\; I$二者居其一，從而$a\; +\; b\; \backslash in\; I$。進一步，對於任何$r\; \backslash in\; R,\; a\; \backslash in\; I$都可以證明$ra\; \backslash in\; I$。由此，$I$成為$R$的一個理想。

現在考慮證明的核心部分：利用$I\; =\; R$充要於$1\; \backslash in\; I$，可以證明$I$一定是$R$的真子集。因為如果$1\; \backslash in\; I$，那麼必然有某個$J\; \backslash in\; T$滿足$1\; \backslash in\; J$，這意味著$J\; =\; R$，這與$T$的選取是矛盾的。

這樣，利用佐恩引理，$P$必然包含一個最大元素，而這個元素就是$R$的一個極大理想。

注意這個結論只在$R$是單位環的時候成立，在$R$不是單位環的情形下，一般而言這個結論是不成立的。

假設佐恩引理不成立，那麼存在一個偏序集$P$使得它的任何一個全序子集都有上界，但$P$中任何元素都不是最大元素。因此，對於任何一個全序子集$T$，可以定義一個元素$b(T)$，使其大於$T$的上界。為了確保這樣的定義是可以實現的，必須首先承認選擇公理。

利用上面定義的函數$b$，可以定義一個序列，這裡作為下標的指標集不僅可以是自然數，也可以是所有序數。事實上，可以將序列構造得“足夠長”使得其甚至多於$P$本身，因為序數是可以多於任何集合的基數的，因此$P$將被這個序列窮盡，從而導出一個矛盾。

上述的序列可以利用超限歸納法構造：$a\_0$可以選擇為$P$中任意元素（這樣的選擇是可行的，原因是$P$至少包含空集的一個上界，從而$P$是非空的），而對於任意一個序數$w$，定義，注意$a\_v$是全序的，所以$a\_w$的定義是合理的。

事實上這個證明的結論略強於佐恩引理：

如果$P$是一個偏序集，並且它的任何一個良序子集都有上界，那麼對於$P$的任意元素$x$而言，$P$中有一個大於等於$x$的最大元素。換言之，存在一個可以與$x$比較的最大元素。

佐恩引理在1922年首先被庫那圖斯克（K. Kuratowski）所發現，1935年佐恩（Max Zorn）亦獨立地發現此結論。