模範疇

模範疇(category of modules)是一種重要的範疇。指所有以模和模之間的同態組成的範疇。利用範疇的觀點來討論模和環是一種重要方法。若A是環，則所有的左A模組成的類和所有左A模M，N之間的模同態Hom(M，N)，以及模的同態的乘法運演演算法則構成一個範疇，稱為左A模範疇，記為：A-Mod。

範疇是範疇論的基本概念之一。稱C是一個範疇，是指C滿足下述六點：

1.C有一個對象類{A，B，C，…}(不要求它是一個集合，即不要求它滿足集合論的公理，只要求能判別出是不是它的對象)，常記為ObjC或簡記C。

2.對C的任兩對象A，B，有一個確定的集合(可為空集)Hom(A，B)，其元素稱為由A到B的態射，記為f∈Hom(A，B)或f：A→B。

3.對給定的f∈Hom(A，B)與g∈Hom(B，C)有惟一的gf∈Hom(A，C)，稱為f與g的合成。

4.Hom(A，B)與Hom(C，D)有公共元是指A=C且B=D。

5.態射合成滿足結合律。

6.對C的任意對象A，Hom(A，A)至少有一個元素ε使對σ∈Hom(A，B)恆有σε=σ=εσ，稱ε為A的恆等態射(ε為B的恆等態射)。

例如，以一切集合作對象，以集合映射作態射，則得集合範疇Set(簡稱集範疇)。以一切拓撲空間作對象，以連續映射作態射，則得拓撲空間範疇Top。以一切環為對象，以環同態作為態射得環範疇Ring。類似地，可得群範疇Group，阿貝爾群範疇AG，環R上的左R模範疇M等。以自然數為對象，a|b(表示a整除b)時定義Hom(a，b)有惟一元素φ，ab時定義Hom(a，b)=(空集)，也得到一個範疇。一般地，對每個擬序集都可仿此定義範疇。

模是一個重要的代數系統。它是一個帶運算元區A的交換(加)群M。給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

則稱A為M的運算元區，稱M為帶運算元區A的模，又稱為A上的模或A模。這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態a：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射

μ： A→End(M)，　a→a.

特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為M.類似地，有右A模M，記為M.若A有單位元1，且又滿足條件

4.1x=x (x∈M);

則稱M為酉模或幺模，以下設A模都是酉模。

環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

的全體構成的集類，則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：

設E與F為兩個幺半群(兩個群)，稱從E到F中的映射。f是幺半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在群的情況下，后一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x↦0是群胚的同態，而並不因此就是幺半群的同態)。

設G為乘法群，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。

設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態。這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

並且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法幺半群)的同態。

例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。

同態的概念能用抽象的方式加以推廣。

模同態是模論的重要概念之一。指兩個模之間的一類映射。設M，N是兩個A模，f是加群M到N的群同態，若f還保持A到M，N上的運算，即對任意a∈A，f(ax)=af(x)，x∈M，則稱f是模同態，也稱A同態。常記為f∈Hom(M，N)或f∈Hom(M，N)。任意兩個模M，N之間總存在模同態，例如，設f(x)=0，x∈M，通常稱此同態為零同態。若N是M的子模，映射π：x→x-=x+N是M到M-的模同態，則稱π為自然同態。模M，N之間的模同態集Hom(M，N)是一個加群，特別地，當M=N時，記：

End(M)=Hom(M，N)，

它是一個環，稱為模M的自同態環。A是End(M)的子環。