狄利克雷L函數

在數學中，狄利克雷L函數是狄利克雷級數的特例，它是形如下式的復變數函數

在此 χ 是一個狄利克雷特徵，的實部大於一。此函數可解析延拓為整個複平面上的亞純函數。

約翰·彼得·狄利克雷證明對所有 χ 俱有，並藉此證明狄利克雷定理。若 χ 是主特徵，則 在有單極點。

又稱對應於模q的特徵Ⅹ(n)的狄利克雷L函數, 即函數，其中,Ⅹ(n)是模q的一個特徵，復變數。它在時就是黎曼ζ函數。這類函數最初是由P.G.L.狄利克雷在研究算術級數中的素數分佈問題時引進的。它的性質和作用，都與黎曼ζ函數類似，在許多數論問題中有重要應用。它的主要性質有：

① 當時，，式中表示對全體素數求積。因而。

② 當是模q的主特徵時，於是，通過就把解析開拓到全平面。

③ 當Ⅹ是模q的非主特徵時，一定存在惟一的一個模q*，使當時，有　

④ 當Ⅹ是模q的原特徵時,可解析開拓為整函數，且滿足函數方程

，

式中τ(Ⅹ)為僅與Ⅹ有關的常數，且滿足的共軛特徵，即

⑤ 對任意的模q的特徵Ⅹ，有。

⑥設Ⅹ是模q的原特徵，那麼是L(s,Ⅹ)的一級零點，稱為“無聊零點”；可能有的其他零點（稱為“非無聊零點”）一定都位於帶形區域中;L(s,Ⅹ)確有無窮多個非無聊零點。

⑦　設，以表在區域，中的零點個數。因此，當Ⅹ 是模q的原特徵和時，有

⑧　設,，以表 在區域,中的零點個數。再設，其中Σ表對模q的所有特徵求和。因此，當時，有。此結果已被改進和推廣，通常稱之為L函數的零點密度定理。

⑨　在直線上，。由此，對任意固定的q，可推出算術級數中的素數定理。

⑩　存在絕對正常數X1，使得對任意固定的模q,在所有的函數中，僅可能除去一個例外函數外，均在區域內無零點。如果這樣的例外函數 存在，那麼塣一定是模q的實的非主特徵，且 在上述區域內只有一個一級實零點戓。這一性質是狄利克雷L函數與黎曼ζ函數的一個主要差別。研究對應於實特徵的L函數的實零點，是L函數論的最重要問題之一。

A. 佩奇於1935年證明了：存在絕對正常數，使得對任意的實原特徵Ⅹ modq，，必有。由此可推出，存在絕對正常數，使得對任意的實特徵 Ⅹ modq，，當時，。

　C.L.西格爾於1936年證明了：對任給的正數ε，存在正常數，使得對任意的實原特徵Ⅹmodq,，必有。由此推出，對任給正數ε，必有正常數 ，使得對任意的實特徵 Ⅹ modq，，當時， 。

C. L. 西格爾的結果雖然優於A. 佩奇的結果，但是常數和至今沒有辦法計算出來。

從性質⑩、?、?可推得有餘項估計的算術級數中的素數定理（見素數分佈）。類似於黎曼假設，有所謂廣義黎曼假設，即猜測所有的狄利克雷L函數的非無聊零點都位於直線上，通常簡記作GRH。大量的數值計算以及理論上的探討都支持這一假設，但它至今還沒有被證明或否定。從GRH可推出一系列重要的數論結果，雖然都是一些假設性的結果（其中有的已被無條件地證明了），但是卻指出了研究L函數零點的重要意義和方向。

參考書目

K.Prachar,Primzahlverteilung,Springer-Verlag, Berlin,1957.

H.Davenport,Multiplicative Number Theory,2nd ed.,Springer-Verlag, Berlin, 1980.

若 χ 是原特徵，χ( ? 1) = 1，則 L(s,χ) 在 Re(s)