數學物理方程

本書首先系統地介紹數學模型的導出和各類定解問題的解題方法, 然後再討論三類典型方程的基本理論. 這種處理方式, 便於教師授課時選講和自學者選讀. 書中內容深入淺出, 方法多樣, 文字通俗易懂, 並配有大量難易兼顧的例題與習題。

《數學物理方程(第2版)》可作為數學和應用數學、信息與計算科學、物理、力學專業的本科生以及工科相關專業的研究生的教材和教學參考書，也可作為非數學專業本科生的教材（不講或選講第6章）和教學參考書。另外，也可供數學工作者、物理工作者和工程技術人員作為參考書。

第1章　典型方程的導出、定解問題及二階方程的分類與化簡

1.1　典型方程的導出

1.1.1　守恆律

1.1.2　變分原理

1.2　偏微分方程的基本概念

1.2.1　定義

1.2.2　定解條件和定解問題

1.2.3　定解問題的適定性

1.3　二階線性偏微分方程的分類與化簡

1.3.1　兩個自變數的二階線性偏微分方程的分類與化簡

1.3.2　多個自變數的二階線性偏微分方程的分類

習題1

第2章　Fourier級數方法——特徵展開法和分離變數法

2.1　引言

2.2　預備知識

2.2.1　二階線性常微分方程的通解

2.2.2　線性方程的疊加原理

2.2.3　正交函數系

2.3　特徵值問題

2.3.1　Sturm—Liouville問題

2.3.2　例子

2.4　特徵展開法

2.4.1　弦振動方程的初邊值問題

2.4.2　熱傳導方程的初邊值問題

2.5　分離變數法——Laplace方程的邊值問題

2.5.1　圓域內Laplace方程的邊值問題

2.5.2　矩形上的Laplace方程的邊值問題

2.6　非齊次邊界條件的處理

2.7　物理意義、駐波法與共振

習題2

第3章　積分變換法

3.1　Fourier變換的概念和性質

3.2　Fourier變換的應用

3.2.1　一維熱傳導方程的初值問題

3.2.2　高維熱傳導方程的初值問題

3.2.3　一維弦振動方程的初值問題

3.2.4　其他類型的方程

3.3　半無界問題：對稱延拓法

3.3.1　熱傳導方程的半無界問題

3.3.2　半無界弦的振動問題

3.4　Laplace變換的概念和性質

3.5　Laplace變換的應用

習題3

第4章　波動方程的特徵線法、球面平均法和降維法

4.1　弦振動方程的初值問題的行波法

4.2　d'Alembert公式的物理意義

4.3　三維波動方程的初值問題——球面平均法和Poisson公式

4.3.1　三維波動方程的球對稱解

4.3.2　三維波動方程的Poisson公式

4.3.3　非齊次方程、推遲勢

4.4　二維波動方程的初值問題——降維法

4.5　依賴區域、決定區域、影響區域、特徵錐

4.6　Poisson公式的物理意義、Huygens原理

習題4

第5章　位勢方程

5.1　Green公式與基本解

5.1.1　Green公式

5.1.2　基本解的定義

5.2　調和函數的基本積分公式及一些基本性質

5.3　Green函數

5.3.1　Green函數的概念

5.3.2　Green函數的性質

5.4　幾種特殊區域上的Green函數及Dirichlet邊值問題的可解性

……

第6章　三類典型方程的基本理論

附錄一　積分變換表

附錄二　參考答案

參考文獻

作者：李勝宏//陳仲慈//潘祖梁

ISBN：10位[7308056678] 13位[9787308056670]

出版社：浙江大學出版社

出版日期：2008-1-1

定價：￥15.00 元

描述許多自然現象的數學形式都可以是偏微分方程式，特別是很多重要的物理力學及工程過程的基本規律的數學描述都是偏微分方程，例如流體力學、電磁學的基本定律都是如此。這些反映物理及工程過程的規律的偏微分方程就是所謂的數學物理方程。當然，幾何學中的很多問題也是可以用偏微分方程來描述的。

人們對偏微分方程的研究，從微分學產生后不久就開始了。例如，18世紀初期及對弦線的橫向振動研究，其後，對熱傳導理論的研究，以及和對流體力學、對位函數的研究，都獲得相應的數學物理方程信其有效的解法。到19世紀中葉，進一步從個別方程的深入研究逐漸形成了偏微分的一般理論，如方程的分類、特徵理論等，這便是經典的偏微分方程理論的範疇。

然而到了20世紀隨著科學技術的不斷發展，在科學實踐中提出了數學物理方程的新問題，電子計算機的出現為數學物理方程的研究成果提供了強有力的實現手段。又因為數學的其他分支（如泛函分析、拓撲學、群論、微分幾何等等）也有了迅速發展，為深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世紀關於數學物理方程的研究有了前所未有的發展，這些發展呈如下特點和趨勢：

一、在許多自然科學及工程技術中提出的問題的數學描述大多是非線性偏微分方程，即使一些線性偏微分方程作近似處理的問題，由於研究的深入，也必須重新考慮非線性效應。對非線性偏微分方程研究，難度大得多，然而對線性偏微分方程的已有結果，將提供很多有益的啟示。

二、實踐中的是由很多因素聯合作用和相互影響的。所以其數學模型多是非線性偏微分方程組。如反應擴散方程組，流體力學方程組電磁流體力學方程組，輻射流體方程組等，在數學上稱雙曲－拋物方程組。

三、數學物理方程不再只是描述物理學、力學等工程過程的數學形式。而目前在化學、生物學、醫學、農業、環保領域，甚至在經濟等社會科學住房領域都不斷提出一些非常重要的偏微分方程。

四、一個實際模型的數學描述，除了描述過程的方程（或方程）外，還應有定解條件（如初始條件及邊值條件）。傳統的描述，這些條件是線性的，逐點表示的。而現在提出的很多定解條件是非線性的，特別是非局部的。對非局部邊值問題的研究是一個新的非常有意義的領域。

五、與數學其他分支的關係。例如幾何學中提出了很多重要的非線性偏微分方程，如極小曲面方程，調和映照方程，方程等等。泛函分析、拓撲學及群論等現代工具在偏微分方程的理論研究中被廣泛應用，例如空間為研究線性信非線性偏微分方程提供了強有力的框架和工具。廣義函數的應用使得經典的線性微分方程理論更系統完善。再就是計算機的廣泛應用，計算方法的快速發展，特別是有限元廣泛　的應用，使得對偏微分方程的研究得以在實踐中實現和檢驗。

用數學方法處理應用問題時，首先是要建立合理的數學模型，而很多情況下這種模型是偏微分方程。一個模型的建立是一個相當複雜的過程。

第1章 方程的導出和定解問題

§1.1 方程的導出

§1.2 定解條件和定解問題

§1.3 二階線性方程的分類與疊加原理

習題一

第2章 行波法

§2.1 一維波動方程的初值問題

2．1.1 無界弦的自由振動

2．1.2 半無界弦的自由振動

2．1.3 無界弦的強迫振動

§2.2 二維與三維波動方程的初值問題

2．2.1 球對稱情況

2．2.2 一般情況

2．2.3 降維法及二維波動方程

§2.3 解的物理意義

2．3.1 D'Alembert公式的物理意義

2．3.2 依賴區域、決定區域和影響區域

習題二

第3章 分離變數法和特殊函數

§3.1 齊次邊界條件的定解問題

3．1.1 齊次方程齊次邊界條件

3．1.2 非齊次方程齊次邊界條件

§3.2 非齊次邊界條件的定解問題

3．2.1 邊界條件齊次化

3．2.2 周期性條件和自然邊界條件

§3.3 柱域中的分離變數法和Bessel函數

3．3.1 Bessel方程的引出

3．3.2 Bessel函數及其性質

§3.4 球域中的分離變數法及Legendre多項式

3．4.1 Legendre方程的引出

3．4.2 Legendre多項式

§3.5 本徵值理論

3．5.1 Sturm-Liouville邊值問題

3．5.2 本徵函數的正交性

3．5.3 展開定理

3．5.4 奇異的本徵值問題

習題三

第4章 積分變換法

§4.1 Fourier變換及其性質

§4.1.1 Fourier變換的形式導出及它的定義

§4.1.2 Fourier變換的基本性質

§4.1.3 占函數及它的Fourier變換

§4.2 Fourier變換在求解偏微分方程初值問題中的應用

4．2.1 一維熱傳導方程的初值問題

4．2.2 一維波動方程的初值問題

4．2.3 應用Fourier變換求解邊值問題

§4.3 Laplace變換及其性質

4．3.1 Laplace變換的形式推導

4．3.2 存在定理

4．3.3 Laplace變換的基本性質

§4.4　Laplace變換在求解偏微分方程定解問題中的應用

習題四

第5章 Green函數法

§5.1 Laplace方程第一邊值問題的Green函數法

5．1.1 Green公式、基本解與基本積分公式

5．1.2 Green函數及其意義

5．1.3 特殊區域的Green函數

習題五

習題答案

附錄

附錄A Fourier變換表

附錄B Laplace變換表

附錄C 柱函數、球函數的公式及數表

參考文獻

書名：數學物理方程--21世紀高等學校教材

ISBN:781089105

作者：陳才生

出版社：東南大學出版社

定價：20.00

頁數：234

出版日期：2005-2-1

版次：

開本：16開

包裝：

簡介：本書是作者分別在河海大學、江蘇大學、南京氣象學院數學系和為工科研究生講授"數學物理方程"的講稿基礎上，經過多次認真討論和修改而成．

本書主要內容包括偏微分方程的基本概念、三類典型方程的導出與定解問題、特徵線積分法、傅里葉級數理論、分離變數法、格林函數法、積分變換法、極值原理與應用、能量積分法與應用、貝塞爾函數和勒讓德函數及應用等．本書選材適當，敘述詳盡，重點介紹了定解問題的各種基本解法，突出了應用性．每一章配備了較多類型的例題與習題，供讀者閱讀和練習。書末附有大部分習題答案與提示．

本書可作為應用數學專業、信息與計算科學專業本科生和工科有關專業研究生的教學用書，也可作為從事本門課程教學的教師和有關工程科技人員參考．

1緒論

1． 1概念

1． 2三類典型方程的導出

1． 3偏微分方程定解問題的提法和適定性問題

1． 3. 1定解問題的提法

1． 3. 2適定性問題

1． 4疊加原理

1． 5二階線性偏微分方程的分類和化簡

1． 5. 1兩個自變數的二階線性偏微分方程的分類和化簡

1． 5. 2多個自變數的二階線性偏微分方程的分類

習題1

2波動方程的初值問題與行波法

2． 1一維波動方程的初值柯西問題

2. 1. 1達朗貝爾 D''Alembert 公式

2． 1. 2波的傳播. 依賴區間. 決定區域和影響區域

2． 1. 3無界弦的受迫振動和齊次化原理

2． 1. 4半無界弦的振動問題

2． 2三維波動方程的初值問題和球面波

2． 2. 1三維波動方程的球對稱解

2． 2. 2三維波動方程的泊松 Poisson 公式

2． 2. 3泊松公式的物理意義

2． 2. 4非齊次方程的初值問題和推遲勢

2． 3二維波動方程的初值問題和降維法

2． 4依賴區域. 決定區域. 影響區域和特徵錐

習題2

3分離變數法

3． 1*預備知識

3． 1. 1分段連續函數和分段光滑函數

3． 1. 2偶函數和奇函數，偶延拓和奇延拓

3． 1. 3周期函數

3． 1. 4正交函數系和傅里葉級數展開

3． 2齊次方程和齊次邊界條件的定解問題

3． 2. 1波動方程的初邊值問題

3． 2. 2熱傳導方程的初邊值問題

3． 2. 3圓域內拉普拉斯Laplace 方程的邊值問題

3． 3非齊次方程的定解問題

3． 4非齊次邊界條件的處理

3． 5Sturm-Liouville問題

習題3

4調和方程與格林（Green）函數法

4． 1Laplace方程定解問題的提法

4． 2Green公式和應用

4． 2. 1Green公式

4． 2. 2調和方程的基本解和解的積分表達式

4． 3Green函數的性質

4． 4一些特殊區域上的Green函數和Dirichlet問題的解

習題4

5積分變換法

5． 1傅里葉積分和傅里葉變換

5． 2傅里葉變換的性質

5． 3傅里葉變換應用舉例

5． 4拉普拉斯變換與性質

5． 5拉普拉斯變換應用舉例

習題5

6極值原理和應用

6． 1熱傳導方程的極值原理與應用

6． 2拉普拉斯方程的極值原理與應用

習題6

7能量積分方法和應用

7． 1熱傳導方程和調和方程中的能量方法與應用

7． 2波動方程中的能量方法與應用

7． 3初值問題解的唯一性和穩定性

習題7

8貝塞爾函數和勒讓德函數及其應用

8． 1貝塞爾方程與貝塞爾函數

8． 1. 1貝塞爾方程及其求解

8． 1. 2貝塞爾函數的遞推公式及性質

8． 2貝塞爾函數應用舉例

8． 3勒讓德方程與勒讓德函數

8． 3. 1勒讓德方程及其求解

8． 3. 2勒讓德函數及其性質

8． 4勒讓德多項式應用舉例

習題8

部分習題提示與答案

附錄I傅里葉積分變換表

附錄II拉普拉斯積分變換表

參考文獻

書名：數學物理方程(中國科學院考研指定參考書)/中國科學技術大學數學教學叢書

ISBN:703015378

作者：季孝達//薛興恆//陸英

出版社：科學出版社

定價：24

頁數：257

出版日期：2005-7-1

版次：1

開本：16開

包裝：平裝

簡介：本書根據編者在中國科學技術大學多年的教學經驗編寫而成。通過對三類典型方程的討論，介紹求解偏微分方程定解問題的通解法，分離變數法，積分變換法，基本解方法和變分方法，以及相關的固有值問題，特殊函數和廣義函數簡介。本書還討論了一階線性和擬線性偏微分方程的特徵線概念和求解方法。對涉及的數學理論，本書重在理解和應用。全書材料豐富，結構清晰，層次分明，便於不同需求的讀者使用。

本書適合於高等院校理工科非數學系本科生及有關科研、工程技術人員使用。

第1章 偏微分方程定解問題

1．1 數學物理方程的導出

1．2 定解問題及其適定性

1．3

階線性偏微分方程的分類和標準式

1．4通解法和行波解

1．5 疊加原理和齊次化原理

第2章 分離變數法

2．1兩個典型例子

2,2 一般格式，固有值問題

2．3非齊次問題

第3章 特殊函數及其應用

3．1 正交曲線坐標系下的變數分離

3．2 常微分方程的冪級數解

3．3 Legendre多項式

3．4 球函數

3．5 Bessel函數

3．6 球Bessel函數

第4章 積分變換法

4．1 Fourier變換法

4．2 Laplace變換法

*4．3 一般積分變換簡介

第5章 基本解方法

5．1 5函數

5．2 Lu=O型方程的基本解

5．3 邊值問題的Green函數法

5．4 初值問題的基本解方法

*5．5 廣義函數

第6章 微分方程的變分方法

6．1 泛函和泛函極值

6．2 泛函的變分，Euler方程和邊界條件

6．3 變分問題的直接法，微分方程的變分方法

習題參考答案

參考文獻