張角定理

逆定理：如果sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD，那麼B,D,C三點共線。

定理的推論：

在定理的條件下，且∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，則B D C共線的充要條件是：2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC

證法1：

設∠1=∠BAD，∠2=∠CAD

由分角定理，

S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)

→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1)

S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)

→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2)

(1.1)式+(1.2)式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD。

證法2：

由正弦定理，

AD/sinB=BD/sin∠1，　(2.1)

AD/sinC=CD/sin∠2，　(2.2)

AB/sinC=BC/sin(∠1+∠2)，　(2.3)

AC/sinB=BC/sin(∠1+∠2)；　(2.4)

那麼由(2.1)，(2.2)，BD=ADsin∠1/sinB，CD=ADsin∠2/sinC，從而

BC=BD+CD=AD(sin∠1/sinB+sin∠2/sinC)　(2.5)

由(2.3)，(2.4)，知sin∠1/AC=sin∠1sin(∠1+∠2) / BCsinB，sin∠2/AB=sin∠2sin(∠1+∠2) / BCsinC。

將以上兩式相加，並將(2.5)代入即可。

證法3：

由面積和得：

0.5sin∠BAD*BA*AD+0.5sin∠DAC*DA*AC=0.5sin∠BAC*BA*AC

把平面幾何和三角函數緊密相連，它給出了用三角法處理平面幾何問題的一個頗為有用的公式，並且是一個非常有效的證明三點共線的手段。用它去解幾何題，適當地配合三角形面積公式、正弦定理、三角公式、幾何知識，可以大大簡化解題步驟，眾多的幾何問題可以得到簡捷統一的解決。