分角定理

分角定理是平面幾何中的一條基礎定理。山東省濟南市王家琦和姚林宏宣稱其是該定理的發現者和命名者。事實上早已有人發現了這個關係，只是因它過於簡易而不值得稱為“定理”罷了。

應用分角定理可以處理很多涉及到邊角轉換、比例線段的幾何問題。

S△ABD/S△ACD=BD/CD(1.1)

S△ABD/S△ACD=[(1/2)*AB*AD*sin∠BAD]/[(1/2)*AC*AD*sin∠CAD]=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)(1.2)

由1.1式和1.2式得

BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)

∵由正弦定理得AB/AC=sin∠ACB/sin∠ABC

∴有時，上式也寫成：BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(sin∠ACB/sin∠ABC)，這樣就實現了線段比徹底轉化成角的比。

（一）用《分角定理》證明《張角定理》：即三角形內有一條分角線，各分角正弦與不相鄰邊的比之和=大角正弦與分角線之比。△ABC中,AD內分∠BAC,則有（sin∠BAD/AC）+(sin∠CAD/AB)=(sin∠BAC/AD)。

證明：由AC外分∠BAD,由《分角定理》→（CD/CB）=（sin∠CAD/sin∠CAB）·（AD/AB）→

(sin∠CAD/AB)=(CD/CB)·(sin∠CAB/AD⑴,由AB外分∠CAD,由《分角定理》→（BD/BC）=

（sin∠BAD/sin∠BAC）·（AD/AC）→(sin∠BAD/AC)=（BD/BC）·(sin∠BAC/AD⑵。由⑴+⑵→

(sin∠BAD/AC)+(sin∠CAD/AB)=sin∠BAC(BD+CD)/(BC·AD)=(sin∠BAC/AD)。證畢。

（二）用《分角定理》證明《三弦定理》：過圓上一點A任作三條弦，AB（左）、AC（右）、AD（中），則有AB·sin∠CAP+AC·sin∠BAP=AD·sin∠BAC。（AD與BC交於P）

證明：由AC外分∠BAP,由《分角定理》→(sin∠CAP/sin∠BAC)=（CP/BC）·（AB/AP）→(AB·sin∠CAP/

sin∠BAC)=（CP/BC）（AB·AB）/AP⑴，同理由AB外分∠CAP,由《分角定理》→(AC·sin∠BAP/sin∠BAC)=

（BP/BC）（AC·AC）/AP⑵，由⑴+⑵→(AB·sin∠CAP+AC·sin∠BAP)=AD·sin∠BAC[（CP·AB·AB）/（AP·BC·AD）+（BP·AC·AC）/（AP·BC·AD）]=AD·sin∠BAC[（CP/AP）（AB/BC）（AB/AD）+（BP/AP）（AC/BC）（AC/AD）]=AD·sin∠BAC[（sin∠CAP/sin∠ACP）（sin∠ACP/sin∠BAC）（AB/AD）+（sin∠BAP/sin∠ABC）（sin∠ABC/sin∠BAC）（AC/AD）]=AD·sin∠BAC[（sin∠CBD/sin∠BDC）（AB/AD）+（sin∠BCD/sin∠BDC）（AC/AD）=AD·sin∠BAC[（CD/BC）（AB/AD）+（BD/BC）（AC/AD）]=AD·sin∠BAC[（CD·AB）/（BC·AD）+（BD·AC）/（BC·AD）]由《托氏定理》，所以有

(AB·sin∠CAP+AC·sin∠BAP)=AD·sin∠BAC。證畢。

（三）用《分角定理》證明《全面三割線定理》：過圓外一點。任作三條割線，則有

（PB·sin∠DPQ+PA·sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ=（sin∠EPQ/PD+sin∠DPQ/PE）×sin∠DPE·PC。

證明：連AE交PC於M，連BD交PC於N，連AC、BC、DQ、EQ。

由PD外分∠BPN，由《分角定理》→(sin∠DPQ/sin∠DPE)=（DN/DB）·（PB/PN）→

PBsin∠DPQ=sin∠DPE（DN·PB·PB）/（DB·PN）⑴。

由PE外分∠APM，由《分角定理》→(sin∠EPQ/sin∠DPE)=（EM/EA）·（PA/PM）→

PAsin∠EPQ=sin∠DPE（EM·PA·PA）/（EA·PM）⑵。由⑴+⑵→

PBsin∠DPQ+PAsin∠EPQ=sin∠DPE[（DN·PB·PB）/（DB·PN）+（EM·PA·PA）/（EA·PM）]×PC/PC

=PCsin∠DPE[（DN/PN）（PB/DB）（PB/PC）+（EM/PM）（PA/EA）（PA/PC）]

=PCsin∠DPE[(sin∠DPQ/sin∠PDN)(sin∠PDN/sin∠DPE)(sin∠PCB/sin∠PBC)+(sin∠EPQ/sin∠PEM)

(sin∠PEM/sin∠DPE)(sin∠PCAsin∠PAC)]，兩邊×sin∠DPE/PQ→

（PBsin∠DPQ+PAsin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ=PCsin∠DPE[（sin∠DPE/PQ）(sin∠DPQ/sin∠DPE)

(sin∠PEQ/sin∠PQE)+（sin∠DPE/PQ）(sin∠EPQ/sin∠DPE)(sin∠PDQsin∠PQD)]→

（PBsin∠DPQ+PAsin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ=PCsin∠DPE[(sin∠DPQ/PQ)（PQ/PE）+(sin∠EPQ/PQ)（PQ/PD）]

∴（PBsin∠DPQ+PAsin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ=PCsin∠DPE[(sin∠DPQ/PE)+(sin∠EPQ/PD)]證畢。