三弦定理
三弦定理
《三弦定理》內容是：由圓上一點引出三條弦，中間一弦與最大角正弦的積等於其餘每條弦與不相鄰角正弦的積之和。
目錄
三弦定理
三弦定理
用圖表述；圓上一點A,引出三條弦AB(左)、AC(右)、及中間弦AD,BC與AD交於P,根據《三弦定理》,有以下關係,
ABsin∠CAD +ACsin∠BAD= ADsin∠BAC。
證明如下；連BD、CD, 由圓的相交弦定理→△ABP∽△CDP→AB/CD=AP/CP→AB·CP=CD·AP→
AB·CP－CD·AP=0→同理→AC·BP－BD·AP=0, 所以有AB(AB·CP－CD·AP)=0, AC(AC·BP－BD·AP)=0,兩式相加→AB·AB·CP + AC·AC·BP=AB·CD·AP +AC·BD·AP=AP(AB·CD+AC·BD)=AP·BC·AD⑴(托氏定理)。
由AC外分∠BAP, 由《分角定理》→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC) ·(AB/AP), →
(ABsin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC) ·(AB·AB/AP)⑵, 同理有, 由AB外分∠CAP, 由《分角定理》→
(ACsin∠BAP/ sin∠BAC)=(BP/BC) ·(AC·AC/AP)⑶, 由⑵+⑶→
(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP) / sin∠BAC=( AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP,由⑴→
( AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP=AD, 所以(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP) / sin∠BAC=AD, 所以,
ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。證畢。