正項級數
都是由正數組成的級數
正項級數，是一種數學用語。在級數理論中，正項級數是非常重要的一種，對一般級數的研究有時可以通過對正項級數的研究來獲得結果，就像非負函數廣義積分和一般廣義積分的關係一樣。所謂正項級數是這樣一類級數：級數的每一項都是非負的。正項級數收斂性的判別方法主要包括：利用部分和數列判別法、比較原則、比式判別法、根式判別法、積分判別法以及拉貝判別法等。
換句話說，若，則稱級數 為正項級數。
部分和數列判別法
正項級數的部分和數列 是單調增加的數列即： ，收斂的充要條件是有界，因此有：
正項級數 收斂的充要條件是：它的部分和數列 有界，即存在某正數，對於一切正整數 有。
比較原則
設 和 是兩個正項級數，如果存在某正數，使得對一切 都有，則有：
（1）若級數 收斂，則級數 也收斂；
（2）若級數發散，則級數也發散。
比式判別法（達朗貝爾判別法）
設 為正項級數，且存在某正常數 及常數。
（1）若對一切，成立不等式，則級數 收斂；
（2）若對一切，成立不等式，則級數 發散。
比式判別法的極限形式：
設 為正項級數，且，則有：
（1）當 時，級數 收斂；
（2）當 或 時，級數 發散。
注意：若，這時用比式判別法不能對級數的斂散性做出判別，因為它可能是收斂的，也可能是發散的，例如級數 和，他們的比式極限都是，但 是收斂的，卻是發散的。
根式判別法（柯西判別法）
設 為正項級數，且存在某正常數 及正常數。
（1）若對一切，成立不等式，則級數收斂；
（2）若對一切，成立不等式，則級數 發散；
柯西判別法的極限形式：
設為正項級數，且，則：
（1）當時，級數收斂；
（2）當，級數 發散。
注意：若，這時用根式判別法不能對級數的斂散性做出判別，因為它可能是收斂的，也可能是發散的，例如級數 和，他們的比式極限都是，但 是收斂的，卻是發散的。
積分判別法
積分判別法是利用非負函數的單調性和積分性質，並以反常積分為比較對象來判斷正項級數的斂散性。
討論 級數 的收斂性，其中常數。
解：分兩種情況討論，
（2）當 時，記 級數的部分和為： .
當 時，取，則有，所以有：
從而
即有
這表明當時，級數的部分和有界。因此，當時，級數收斂。
討論正項級數的斂散性。
解：（1）當時，對一切都有，因此級數發散。
（2）當時，對一切都有，而為收斂的等比數列，因此級數收斂。
基本信息
- 中文名
- 正項級數
- 外文名
- Positive series
- 應用學科
- 數學分析
- 重要級數
- p級數
- 收斂性判別
- 比較原則、比式判別、根式判別
- 定義
- 各項都是由正數組成的級數