乘子

設P、Q 是兩個具有某種特性的周期為 2π的函數類，是給定的複數列。如果對P 中任意函數ƒ(x)的傅里葉係數:乘以所得到的數列必定是 Q中某函數g(x)的傅里葉係數，即數列確定了一個從映到的運算元，就稱T為(P,Q)乘子，有時也直接稱是(P，Q)乘子，其中P，Q可以是有界函數類B,連續函數類C，p次冪為勒貝格可積的函數類，等等。

數列應該滿足什麼條件，才是(P,Q)乘子呢？研究這類問題的定理稱為乘子定理。波蘭數學家J.馬欽凱維奇在1939年提出了下列著名定理.

馬欽凱維奇乘子定理 設滿足條件

式中M是常數，則是乘子(),這裡表示周期為2π的p次冪可積函數類.

對非周期函數可以類似地定義乘子。設m（x）是給定在n維歐氏空間 上的一個有界可測函數，如果對於中任意函數ƒ(x)的傅里葉變換弮(y)，乘積m(y)·弮(y)必定是中某個函數g(x)的傅里葉變換，並且存在常數M，使得

式中

乘子

也就是說，對一切，由等式

所確定的運算元T是上的有界運算元:

就稱T為對應於m(x)的乘子運算元，或簡稱乘子，有時也直接稱m(x)是一個乘子。1956年蘇聯數學家C.Γ.米赫林證明了下面的定理。

米赫林乘子定理 設m(x)在Rn中除原點外是 k階連續可微的，其中k為大於的整數，還假設m(x)的所有階數不超過k的偏導數滿足條件

式中，是非負整數,,則m(x)是乘子

乘子運算元的特點是它同平移運算元可交換。平移運算元的定義為，這裡 h是中一個向量。上的有界線性運算元 T是乘子運算元的充分必要條件為它與平移運算元可交換，即對任意，有 成立。

如果不通過傅里葉變換直接來表示乘子運算元，那麼在一定意義上說，乘子運算元實際上就是卷積運算元，其中*表示卷積運算。

設ƒ(x)是多元函數，在研究ƒ(x)的多重傅里葉級數的各種形式的部分和（方形和，矩形和，球形和）是否依 范數收斂到ƒ(x)時，遇到下述類型的乘子問題：設m(x)是某個可測集D的特徵函數，問D具有什麼樣的幾何形狀時， 是乘子？這個敘述起來十分簡單的問題，實際上卻異常複雜。以二維的情形為例，如果D是半平面，或多邊形時，是乘子()；但當D是單位圓時，問題就複雜得多了。一般地說，若D是n維空間的單位球，對應於 的運算元T是否為乘子運算元的問題，被稱為圓盤問題。它曾在長時期內沒能解決。容易推知，對於區間

以外的p，T不是上的有界運算元。因此，曾有一個所謂“圓盤猜想”，猜想：對於滿足的一切p,T是上的有界運算元。為了研究此問題，美國數學家E.M.施坦與C.費弗曼先研究稍簡單一些的博赫納-里斯球形和運算元:

式中

乘子

它和單位球的特徵函數的差別在於它在 處具有一定的光滑性。他們推測對：一切,當時， 是上的有界運算元。1970年費弗曼證明了當時，這個推測成立。然而，圓盤猜測卻在1971年被費弗曼否定了。他通過構造反例說明：當空間維數時，T只能是上的有界運算元，若，T不可能在上有界。由此可見，乘子運算元的複雜性。

泛函分析，微分方程中的許多運算元都是乘子運算元。因此，乘子定理在傅里葉分析，泛函分析，微分方程，位勢理論以及數學物理中有廣泛的應用。

參考書目

J. Marcinkiewicz, Sur les Multiplicateurs des Séries de Fourier,Studia MatheMatica, T. 8, pp. 78～91, Warsaw,1939.