傅里葉分析

傅里葉分析（Fourier analysis）是分析學中18世紀逐漸形成的一個重要分支，主要研究函數的傅里葉變換及其性質，又稱調和分析。

法國科學家J.-B.-J.傅里葉由於當時工業上處理金屬的需要，從事熱流動的研究。他在題為《熱的解析理論》一文中，發展了熱流動方程，並指出了任意周期函數都可以用三角基來表示的想法。他的這種思想，雖然缺乏嚴格的論證，但對近代數學以及物理、工程技術卻都產生了深遠的影響，成為傅里葉分析的起源。

由三角函數系{cosnx,sinnx} (n=0,1,2，…）組成的無窮級數稱為三角級數，其中αn,bn為係數，與x無關。若級數⑴對於一切x收斂，它的和記為(x）：

則(x）是一個具有周期2π的周期函數。上式兩邊分別乘以cosnx或sinnx，並且在（0,2π）上同時積分，就得到公式上面的運算是形式的，因為符號Σ與積分的交換缺乏根據。為了保證上述運算的正確性，應當對級數⑴的收斂性加以必要的限制，例如一致收斂性等。但是，上面提供的純形式運算，卻提出了一個很有意義的問題：如果(x）是一個給定的以2π為周期的周期函數，通過⑶可以得到一列係數αn,bn，從而可構造出相應的三角級數⑴。這樣得到的三角級數⑴是否表示(x）？正是傅里葉，他首先認為這樣得到的級數⑴可以表示(x）。

給定(x），利用⑶得到的三角級數⑴，稱為的傅里葉級數，而稱⑶為的傅里葉係數。這種思想可以推廣到任意區間上的正交函數系。特別，（n=0，±1，±2，…）是[0,2π]上的規範正交函數系，函數關於它的傅里葉級數為稱為 的傅里葉級數的復形式。

傅里葉分析從誕生之日起，就圍繞著“傅里葉級數究竟是否收斂於自身”這樣一個中心問題進行研究。當傅里葉提出函數可用級數表示時，他的想法還沒有得到嚴格的數學論證，實際的情形人們並不清楚。P.G.L.狄利克雷是歷史上第一個給出函數(x）的傅里葉級數收斂於它自身的充分條件的數學家。他的收斂判別法，后稱為狄利克雷-若爾當判別法。他證明了在一個周期上分段單調的周期函數的傅里葉級數，在它的連續點上必收斂於(x）；如果在x點不連續，則級數的和是（(x+0)+(x-0))/2。順便指出，狄利克雷正是在研究傅里葉級數收斂問題的過程中，才提出了函數的正確概念。因為在他的判別法中，函數在一個周期內的分段單調性，可能導致該函數在不同區間上的不同解析表示，這自然應當把它們看做同一個函數的不同組成部分，而不是像當時人們所理解的那樣，認為一個解析表達式就是一個函數。

（G.F.）B.黎曼對傅里葉級數的研究也作出了貢獻。上面說過，確定的傅里葉係數，要用到積分式⑶。但是人們當時對積分的理解還不深入。黎曼在題為《用三角級數來表示函數》（1854)的論文中，為了使得更廣一類函數可以用傅里葉級數來表示，第一次明確地引進並研究了現在稱之為黎曼積分的概念及其性質，使得積分這個分析學中的重要概念，有了堅實的理論基礎。他證明了如果周期函數(x）在[0,2π]上有界且可積，則當n趨於無窮時 的傅里葉係數趨於0。此外，黎曼還指出，有界可積函數的傅里葉級數在一點處的收斂性，僅僅依賴於(x）在該點近旁的性質。這個非常基本而重要的結果稱之為局部性原理。

G.G.斯托克斯和P.L.von賽德爾引進了函數項級數一致收斂性的概念以後，傅里葉級數的收斂問題進一步受到了人們的注意。H.E.海涅在1870年的一篇論文中指出，有界函數(x）可以唯一地表示為三角級數這一結論，通常採用的論證方法是不完備的，因為傅里葉級數未必一致收斂，從而無法確保逐項積分的合理性。這樣，就可能存在不一致收斂的三角級數，而它確實表示一個函數。這就促使G.（F.P.）康托爾研究函數用三角級數表示是否唯一的問題。這種唯一性問題的研究，又促進了對各種點集結構的探討。G.康托爾第一次引進了點集的極限點以及導集等概念，為近代點集論的誕生奠定了基礎。

K.（T.W.）外爾斯特拉斯在1861年首次利用三角級數構造了處處不可求導的連續函數。他的這一發現震動了當時的數學界，因為長期的直觀感覺使人們誤認為，連續函數只有在少數一些點上才不可求導。

20世紀

20世紀初，H.L.勒貝格引入了新的積分與點集測度的概念，對傅里葉分析的研究產生了深遠的影響。這種積分與測度，現在稱為勒貝格積分與勒貝格測度，已成為數學各分支中不可缺少的重要概念和工具。勒貝格用他的積分理論，把上面提到的黎曼的工作又推進了一步。例如，根據勒貝格積分的性質，任何勒貝格可積函數的傅里葉級數，不論收斂與否，都可以逐項積分。又例如，對於[0,2π]上勒貝格平方可積的函數，帕舍伐爾等式成立

傅里葉級數，特別是連續函數的傅里葉級數，是否必處處收斂？1876年P.D.G.杜布瓦－雷蒙首先發現，存在連續函數，它的傅里葉級數在某些點上發散；后又證明，連續函數的傅里葉級數可以在一個無窮點集上處處發散。這反面結果的發現提醒人們對傅里葉級數的收斂性應持審慎態度。

費耶爾求和法

正是基於上述原因，1904年，匈牙利數學家L.費耶爾首次考慮用部分和的算術平均代替級數的部分和，證明了傅里葉級數部分和序列的算術平均，在函數的連續點上，必收斂於函數自身。這樣，通過新的求和法，又能成功地用傅里葉級數表達連續函數。這無疑是傅里葉級數理論的一個重要進展。費耶爾之後，各種求和法相繼產生。一門新的學科分支，發散級數的求和理論，就此應運而生。

與此同時，傅里葉級數幾乎處處收斂的問題，特別是所謂的盧津猜想，受到人們的重視（見盧津問題）。瑞典數學家L.卡爾森用十分精巧的方法，才證實了這一猜想的正確性。

複變函數論方法

傅里葉級數與單位圓內解析函數的理論有著非常密切的聯繫。假設⑴是可積函數的傅里葉級數，簡單的計算表明，它是復變數z的冪級數⑸的實部。另一方面，級數⑸是單位圓內的解析函數，記為F(z）。這樣，傅里葉級數⑴可以通過單位圓內解析函數的理論來研究。這就是傅里葉分析中的複變函數論方法，它是20世紀前半葉研究傅里葉級數的一個重要工具。

經典的H空間概念

進一步的研究導致G.H.哈代以及F.（F.）里斯兄弟建立單位圓上H空間的理論。他們研究了單位圓內使有界的解析函數F(z），這裡0<1，而p>0。這類函數的全體，稱為H空間，它是近代H空間理論的先驅。

通過傅里葉級數刻畫函數類是傅里葉分析中的重要課題，著名的帕舍伐爾公式以及里斯-費希爾定理反映了函數類l(0,2π）的特徵。如果P≠2，則有以下的豪斯多夫-楊定理。

豪斯多夫－楊定理

設1

反之，如果{сn}(-∞<；∞）是滿足的複數列，那麼{сn}必為中某函數的傅里葉係數，且。

李特爾伍德-佩利理論

上述豪斯多夫-楊定理的實質，是用傅里葉係數的大小來反映函數所屬的空間，但它並沒有給出空間L(0，2π）的傅里葉級數特徵。因此，不可能象帕舍伐爾公式那樣，用傅里葉係數的大小來刻畫l(0，2π）中函數的特徵。考慮函數，1

<2，但。這樣的函數是存在的。假設0的傅里葉級數的復形式是，那麼可以證明，級數（±號隨機地取）不是傅里葉級數，更不可能是L（0,2π）中函數的傅里葉級數。這說明，不能簡單地期望以傅里葉係數的大小來刻畫l（p≠2）中函數的特徵。由J.E.李特爾伍德、R.E.A.C.佩利首創，後由A.贊格蒙以及J.馬欽凱維奇等發展起來的理論，就給出了l(0,2π）空間中函數的傅里葉級數的特徵性質。方法是：把級數進行“二進”分割成如下的序列：；。那麼當1

<；∞時，存在絕對常數с1、с2，使得⑹！！。

20世紀50年代以前的重要工作中，還應當提到哈代與李特爾伍德的其他許多貢獻。特別是30年代，他們用極大函數研究傅里葉級數，取得了很深刻的結果。極大函數是一種運算元，它的定義是極大函數M ()(x）比函數自身要大，用它來控制傅里葉分析中某些運算元，可以達到估計其他運算元的目的。

50年代以前，傅里葉分析的研究領域基本上限於一維的具體空間，50年代以後的研究，逐漸向多維和抽象空間推廣。

積分理論名稱：考爾德倫－贊格蒙奇異積分理論

由於偏微分方程等許多數學分支發展的需要，50年代出現的考爾德倫－贊格蒙奇異積分理論，標誌了調和分析進入了一個新的歷史時期。例如，當∈l(Rn），泊松方程Δu=的基本解u(x）的二階導函數，在一定條件下（例如具有Lipα連續性），可以表成如下的奇異積分

сn為某常數，僅與維數n有關。積分 ⑻作為勒貝格積分一般是發散的；注意到Ωj(y）在R的單位球面S上的積分為0，可以證明，積分⑻在柯西主值意義下存在，並且作為x的函數是連續的，從而u(x）是泊松方程的解。

考爾德倫、贊格蒙研究了一類相當廣泛的奇異積分運算元⑼的性質，這裡Ω(y) 是具有一定光滑性的零階齊次函數，且滿足條件。他們證明了這種積分運算元具有l有界性（p>1）；利用這些性質，可以得到某類微分方程中解的“先驗估計”。

h空間理論的近代發展 E.M.施坦、G.韋斯於20世紀60年代，引進了上半空間上的h空間，它們是n=1的推廣。當n=1時，h(p>0）空間中的函數在R=(-∞，∞）上的邊值函數幾乎處處以及在l范數下都存在，施坦、韋斯定義的多維空間，顯然是一維h(R崹）空間的推廣。人們自然要問，經典的h(R崹）空間中最基本的性質，例如邊值函數的存在性等，在多維空間中是否還被保留？施坦、韋斯首先發現，p>(n-1)/n時，答案是肯定的；例如他們證明，若F∈，p>(n-1)/n，那麼幾乎處處以及在L范數意義下都存在。1964年，考爾德倫、贊格蒙利用高階梯度概念，原則上把h空間的上述限制p>(n-1)/n放寬為p>0，但他們的方法比較複雜，隨著指標p的不同，h空間定義的一致性，當時並不清楚。

70年代初，h空間的近代理論經歷了引人注目的發展。D.L.伯克霍爾德、R.F.岡迪、M.L.西爾費斯坦於1971年，首先就一維的情形，證明的充分且必要的條件是，F(x+iy）的實部u(x,y）的角形極大函數，

稍後，C.費弗曼、施坦又把上述特徵推廣到多維中去，並且進一步指出，當0

<；∞時，(x）作為中某函數的邊值函數的充分且必要的條件是：存在充分光滑的函數φ(x），，使得關於φ的角形極大函數，這樣，作為h(R）函數的實變函數論特徵，它完全可以脫離泊松核，也無需藉助於解析函數或調和函數的概念，而純粹是實變函數論的一種內在特性的反映，這是出乎人們的想象的。

群上的傅里葉分析

對於R=(-∞，∞）上定義的非周期可積函數(x），傅里葉積分

代替了傅里葉級數⑴，而稱為的傅里葉變換。

傅里葉級數⑴ 和傅里葉積分⑽的具體形式不同，但都反映了一個重要的事實，即它們都把函數分解為許多個分量e(-∞<；∞）或e(n=0，±1，±2，…）之和。例如對於傅里葉級數⑴，(x）分解為сne(n=0，±1，±2，…）之和；而傅里葉積分⑽則表明，(x）可以分解為無窮個弮（z)e(-∞<；∞）之“和”。分量的係數сn(n=0，±1，±2，…）以及弮（z)(-∞<；∞）的確定，也有類似之處。事實上，它們都可以用下面的形式來表達：

。⑾

當為具有2π周期的周期函數時，G=(0，2π），

，測度 是G=[0,2π]上的勒貝格測度，此時，即傅里葉係數⑷；當 為定義在（-∞，∞）上的非周期函數時，x(t)=(-∞<；∞），而是（-∞，∞）上的勒貝格測度，公式⑾即為傅里葉變換。

把函數分解為許多個“特殊”函數{e}之和的思想，啟發人們考慮更為深刻的問題。事實上，從群的觀點看，無論是周期函數還是非周期函數，它們的定義域都是拓撲群G，就是說，G有一個代數運算，稱為群運算，以及與之相協調的極限運算，稱為G的拓撲。傅里葉級數或傅里葉積分的任務，正是研究G上定義的函數(x）分解為群上許多“特殊”函數（例如e或e）之和的可能性，以及通過傅里葉係數或傅里葉變換來研究自身的性質。對於一般的拓撲群G，相當於{e}或{e}的“特殊”函數是哪種函數；把這種“特殊”函數x(t）代入公式⑾，又必須確定G上的測度μ，以求出 的傅里葉變換，這是在群上建立傅里葉分析理論所必須解決的兩個基本問題。對於直線群R=(-∞，∞），它的“特殊”函數x(t)=e(-∞<；∞）的特殊性，就在於它們滿足以下的三個條件：①x(t+s)=x(t)x(s），②|x(t)|=1，③x(t）是t的連續函數。用群表示論的術語來說，條件①、②、③合起來，正好說明x(t）是群R的一個酉表示，而且進一步可以證明，滿足①、②、③的不可約的酉表示的全體就是 {e}(-∞<；∞）。對圓周群T而言，T的“特殊”函數全體xn(t)=e(n=0，±1，±2，…）除滿足①～③以外，還滿足條件④xn(2π)=1。從群表示論的觀點看，條件①～④合起來，說明T的“特殊”函數正好是群T的酉表示；進一步則可證明，T的一切不可約酉表示正好就是{e|n=0，±1，±2，…}。這樣，尋找一般抽象群G上合適的“特殊”函數的問題，就轉化為研究和尋找群G上一切不可約酉表示的問題。對於緊群或局部緊的交換群，群表示論的結果已經相當豐富，相應的“特殊”函數的研究也比較成熟。至於既非交換又非緊的拓撲群，尋找相應的“特殊”函數，尚是一個值得探索的難題。

研究拓撲群上的測度是建立群上傅里葉分析的另一個基本課題，因為群上的積分⑾離不開相應的測度。以可加的局部緊拓撲群R=(-∞，∞）為例，經典的勒貝格測度的主要特點是：①R中任一緊集的勒貝格測度必為有限；②R中任何可測集的勒貝格測度關於右（或左）平移是不變的。人們自然要問，一般的拓撲群上，具有①、②兩條件的測度（現在稱為哈爾測度）是否存在？存在的話，是否唯一？這個問題，自1930年以來，經A.哈爾，A.韋伊以及И。М.蓋爾范德等人的努力，已經證明，在局部緊的拓撲群上，滿足條件①、②的哈爾測度是一定存在的，並且相互間僅差常數倍。例如，以乘法為群運算的全體正實數構成一拓撲群R，它的拓撲就是歐氏空間的拓撲，那麼測度dμ=xdx就是R上的哈爾測度。這是因為，對於任意的，

這說明測度dμ=xdx關於位移是不變的。如果進一步求出群R的一切不可約酉表示，則經過計算，可以證明R的一切不可約酉表示就是{x|- ∞<；∞}。這樣，由公式⑾，對於群R上的可積函數(x), 的傅里葉變換。

上式表達的弮（t）正好又是經典的所謂梅林變換M (x），是R.H.梅林19世紀末為研究狄利克雷級數的有關性質時引進的。這個特例說明，群上的傅里葉分析，不僅把梅林變換統一到傅里葉變換中來，更重要的是，群論觀點的引入，使得隱藏在某些現象背後的內在聯繫，被揭示得更清楚更深刻了。

歐氏空間上的傅里葉分析

由於傅里葉變換在旋轉下保持不變，可析之為徑向成分與球面成分，由此導向貝塞爾函數與球諧函數的研究。

管狀域上的調和分析

這是哈代空間在高維度的推廣。

拓撲群上的數學分析是調和分析更現代的一個分支，源於20世紀中葉。其主要動機是各種傅里葉變換可以推廣為定義在局部緊緻阿貝爾群上的函數的變換。關鍵是證明普朗歇爾定理的類比。

局部緊緻阿貝爾群上的調和分析以龐特里亞金對偶性為基石，現已有完整的理論。對於一般的局部緊拓撲群，調和分析的課題是分類其酉表示。主要對象是李群與p-進群。

對於緊群，任何不可約表示必為有限維幺正表示，彼得-外爾定理斷言：不可約幺正表示的矩陣係數構成的正交基；映射具有與傅里葉變換相近的性質。藉此可以深究緊群的結構。

對於非緊亦非交換的群，須考慮其無窮維表示。