史瓦西解

• 愛因斯坦在1905年發表了一篇探討光線在狹義相對論中，重力和加速度對其影響的論文，廣義相對論的雛形就此開始形成。

• 1912年，愛因斯坦發表了另外一篇論文，探討如何將重力場用幾何的語言來描述。至此，廣義相對論的運動學出現了。

• 1915年，愛因斯坦引力場方程發表了出來，整個廣義相對論的動力學才終於完成。

• 1915年後，廣義相對論的發展多集中在解開場方程式上，解答的物理解釋以及尋求可能的實驗與觀測也佔了很大的一部份。但因為場方程式是一個非線性偏微分方程，很難得出解來，所以在電腦開始應用在科學上之前，也只有少數的解被解出來而已。其中最著名的有三個解：史瓦西解、雷斯勒——諾斯特朗姆解、克爾解。

接下來討論的史瓦西解也即第一個得出的場方程的嚴格解，這也是史瓦西黑洞的基礎。

愛因斯坦引力場確立以後，史瓦西首先求出了真空場方程：

的一個穩定的球對稱解。它描述的是靜止球對稱引力源外部的引力場，因此正是牛頓引力定律的相對論對應。下面作簡單的推導。

（以下一直採用的自然單位制）

（注意下面的不是 ,前者是希臘字母的第十三個，後者是英文字母v）

採用球坐標，由球對稱的度規場中已知的結論

可知，度規分量有形式

所有非對角分量為零，再可以解出

是由 的定義解出的。所有的非對角分量也為零。這時候引力源是靜止的，因此它的引力場也應當與 無關。這裡待求的 和 都只是 的函數。下面來求解這兩個函數.

先按照公式

算出克里斯多夫聯絡的非零分量為

其中的 和 分別是 和 對 的微商，即導數。然後可以按定義得出以下的式子

這裡的展開是按照曲率張量中的定義得到的。接著計算里奇張量（里契張量）.得到了以下的非零分量：

這樣真空場方程具體化為

上面的三個方程是 和 聯立的微分方程組，這三個方程只有兩個是獨立的，那是因為愛因斯坦張量必須滿足畢安基恆等式的後果.

用 減去 得出：

立解的下式：

將 式代入 式消去，得

即 .它的解可以寫成

再利用 式，可得

注意到，令相當於改變時間尺度，於是最後解得：

其中又有關於弱場的牛頓近似

對比上三式，可以看出 .相應把不變距離公式寫成

此即球對稱外引力場的史瓦西解.

值得一提的是，1914年，第一次世界大戰爆發，史瓦西雖然已經年過40，仍然參加了德軍，而且達到炮兵上尉的軍銜。正是在俄國戰場前線，史瓦西得到了引力場方程的第一個精確解，並在1915年12月22日將結果寄給了愛因斯坦。愛因斯坦對史瓦西的結果極為讚賞，特別是之前愛因斯坦本人只得到了引力場方程的近似解，並以此對水星的近日點進動進行了解釋。

有兩條理由使得史瓦西時空幾何極為重要。

1、它是對太陽系中引力場的一個很好的描述。太陽本身近乎球形，其周圍物質的質量很小，以至於可以被看作真空，太陽系中所有光線和行星、彗星等物體的運動軌道因而就是史瓦西彎曲時空的測地線。這些運動軌道能被計算出來，並與經過太陽附近的光線和行星近日點進動的觀測值精確相符，而這些現象是牛頓引力理論所不能解釋的。

2、史瓦西幾何又具有普適性，因為它與恆星的類型無關，而只依賴於一個參量，即質量。太陽和相同質量中子星周圍的引力場是同樣的，一個相同的“點”質量也是如此。

史瓦西解描述了一個靜止的、不帶電的、球對稱的天體外部的引力場，或者說是其外部時空的彎曲情況，通常稱之為史瓦西外部解或史瓦西度規。著名物理學家史蒂 芬·霍金在寫那邊後來比據說比麥當娜的寫真集還暢銷的《時間簡史》時，出版社告訴他，書里不能有公式，公式越多，讀者就越少。

史瓦西解得出的引力場與牛頓引力場有一個很重要的共同點。球外的引力場只取決於引力源的總質量，而與引力源的大小和物質密度隨r的分佈無關。因此若只觀測這種引力場，我們只能推知源的總質量，而不能獲得關於源的其他信息。

隨著向點狀引力源的趨近，時空幾何出現奇異行為。更驚奇的是，奇異性在臨界距離 處開始出現，這裡M是中心星的質量，G是牛頓的萬有引力常數，c是光速（以下將這個公式簡化為），這個臨界距離與引力質量成正比，對太陽質量是3公里，對100萬倍太陽質量是300萬公里，對地球則是1厘米（9mm）。這個距離就叫做史瓦西半徑，它不是別的，正是按照牛頓方式計算的表面逃逸速度達到光速的星體尺度。

按照史瓦西解，在臨界半徑以內，空間和時間都喪失了自己的特徵。在這個半徑以內用以測量距離和時間的規則都失效了，時間變成0，而距離趨於無限。

根據史瓦西半徑，如果一個重力天體的半徑小於史瓦西半徑，天體將會發生坍塌。在這個半徑以下的天體，其間的時空彎曲得如此厲害，以至於其發射的所有射線，無論是來自什麼方向的，都將被吸引入這個天體的中心。因為相對論指出任何物質都不可能超越光速，在史瓦西半徑以下的天體的任何物質——包括重力天體的組成物質——都將塌陷於中心部分。一個有理論上無限密度組成的點組成重力奇點（gravitational singularity）。由於在史瓦西半徑內連光線都不能逃出黑洞，所以一個典型的黑洞確實是“黑”的。