代數擴張

在抽象代數中，一個域擴張（通常記作L / K）被稱作代數擴張，當且僅當每個L的元素都是在K上代數的，即：滿足一個係數佈於K的非零多項式。反之則稱超越擴張。最簡單的代數擴張包括、。

代數擴張與多項式的根在一個代數擴張L / K中，L里的每個元素α都是某個多項式 的根；這些多項式中次數最低者稱作α的最小多項式（通常要求領導係數等於一，以保證唯一性）。最小多項式總是不可約多項式。若 不可約，則商環L: = K[X] / (f)是K的一個域擴張，[L:K] = deg(f)，而且變元X的象是在f在L中的一個根，其最小多項式正是f。通過這種構造，我們可抽象地加入某個多項式的根。例如不外就是複數域。當在L中分解成一次因子的積，則稱f在L中分裂。根據上述構造，總是可以找到一個夠大的代數擴張K' / K使得 f 分裂；K'里滿足此性質的最小子擴張稱作f的分裂域，f 的任兩個分裂域至多差一個K上的同構（即：一個限制在K上為恆等映射的環同構）。

正規擴張一個代數擴張被稱作正規擴張，當且僅當它滿足下述三個等價條件之一：固定代數閉包，任何上的（即在上是恆等映射的）域嵌入 皆有。存在一族在上分裂的多項式，使得由它們的根與 生成。任何多項式 若在里有根，則在里分裂。

可分擴張設為代數擴張，如果的最小多項式沒有重根，則稱可分（重根的存在性與域擴張的選取無關，可分性等價於，這可以直接在中計算）。所有可分元素形成一個域，稱作可分次數。若則稱是可分擴張。當是有限擴張時，定義不可分次數。當特徵為零時，任何代數擴張都是可分的；任何有限域的擴張也都是可分的。伽羅瓦擴張一個正規而且可分的代數擴張稱作伽羅瓦擴張，此時將在上的自同構群記為，稱作的伽羅瓦群。就現代的觀點，伽羅瓦理論研究的乃是與的子群的對應關係，此對應可用伽羅瓦連接抽象地概括。當伽羅瓦擴張 的伽羅瓦群是阿貝爾群時，此擴張稱作是阿貝爾擴張。類域論為數域與局部域的阿貝爾擴張提供了精細的描述。