振蕩積分

振蕩積分是用某種積分表示的線性形式。它依賴於位相函數與振幅函數。考慮積分：

其中，是上的位相函數，。為確定起見，設。

這個積分收斂與否，很大程度上取決於m所取的值。例如時，此積分收斂。但對大於-N的任意實數，它卻是一個發散的積分。儘管如此，可以用以下方法賦予此積分新的合適的意義。其主要思想是像通常處理髮散積分那樣，在廣義函數意義下研究這個積分。針對上述具體形式，可做如下處理。固定φ和u，可得線性形式：

.

根據振幅函數空間的拓撲結構特性及φ是位相函數，此線性形式可以惟一地拓廣成：

上的線性形式；而且，它在任意空間上均為連續的。記此拓廣后的線性形式l(a)為如下積分形式：

顯然，上述積分形式僅是一個符號。但它可用下面兩種方法具體地用一個真實的收斂積分或其極限來表出，即：

或：

其中：

是使 的某些函數。k滿足，且在附近為1。稱上述拓廣后的線性形式：

為一個振蕩積分。在現代微分運算元理論中，人們總是將原來的積分(不管發散與否)I(au)理解為在上述振蕩積分的意義之下。

應當指出，若一個振蕩積分中含有參數，則對於這個含參變數的振蕩積分有像含參變數的通常積分一樣的運演演算法則(例如在積分號下求極限、求導及求積等).這些性質將在應用上帶來很大的方便。最後，考慮一種特殊情形。對於積分：

可以理解為一個含參變數x的振蕩積分。但是，也可以理解為如下的累次積分。

易知此累次積分是收斂的。並且可以證明，上述兩種理解是一致的。通常，在書寫上常將振蕩積分中積分符號上的波紋“~”略掉，直接寫為：

位相函數是定義在開錐子集Γ上的無臨界點的函數。設X是R中的子集，Γ是中的開錐子集(即若，則對任意有.若實值函數關於θ是正齊一次的(即對任意，有，且φ關於x，θ無臨界點(即在Γ上)，則稱是Γ上一個位相函數。記.它是φ關於θ的臨界點集。若一個位相函數在C上的N個n+N維向量是線性無關的，則稱φ為非退化的位相函數。設是一個位相函數。若它對任一固定的x而言又是y，θ的位相函數；且它對任一固定的y而言是x，θ的位相函數，則稱這樣的是運算元位相函數。

是上的運算元位相函數，但不是非退化的。

關於任意多重指標的偏導數滿足某種類型不等式的函數。設X是R中開子集，，m為任意實數。若函數滿足如下條件：對任意多重指標α，β及X中的緊集K，存在常數，使當時有：

則稱是m次型振幅，記為.S振幅函數類首先由赫爾曼德爾(Ho¨rmander，L.V.)引進。從歷史上看，最古典的振幅函數類是其中函數關於θ為m次齊次函數(它顯然屬於S(X×R))。而赫爾曼德爾所引入的上述S，其主要特色在於用微分不等式代替了齊次性。

S類是較為典型的振幅函數類。而在處理具體問題時，將出現一些新的特殊的振幅函數類，並且還要對它們建立一套與相應的運算元相配合的運算規則以及相應的振蕩積分理論等。

下面仍以S類為例來敘述振幅函數類的一些概念及性質。取X中的上升緊集序列{K}使：

對於，記使上述微分不等式(1)成立的最小常數C為ρ[a].易知它們構成一個可分離的可列半模族，且用它裝備函數類后使得成為一個弗雷歇空間。一般地，振幅函數常取漸近展開的形式：

具體地，設是一個單調下降趨於-∞的實數列。又設若對任意非負整數l有，則稱：

是的漸近展開。運用古典的波萊爾技巧可以證明，對於，其中{m}如上，則存在使得：

且在modS下此是惟一確定的。