等面四面體

四個面相等的四面體稱為等面四面體。三組對棱的長分別為a，b，c的等面四面體的體積計算公式為

式中，表面積計算公式為

式中，高=內切球半徑r的4倍，外接球半徑，四個面的面積(或周長)皆相等的四面體是等面四面體。內切球與外接球同心的四面體必為等面四面體。

定理1一個四面體是等面四面體的充要條件是該四面體的外接平行六面體是長方體。

證明 充分性

設四面體ABCD的外接平行六而體是長方體，那麼，因為，所以。同理可得， ，所以四面體ABCD是等面四面體。

必要性

設平行六面體是四面體ABCD的外接平行六面體，因為，，，，，所以，，即平行四邊形和平行四邊形都是矩形，同理可得平行四邊形和平行四邊形都是矩形，平行四邊形和平行四邊形都是矩形，所以平行六面體是長方體。

定理2 一個四面體是等面四面體的充要條件是三雙對棱中點的連線兩兩互相垂直。

證明 如圖1，平行六面體是四面體ABCD的外接平行六面體，則棱AB與CD中點的連線與平行，AC與BD的中點連線與平行，AD與BC的連線與平行。

充分性

當四面體ABCD三雙對棱中點的連線兩兩互相垂直時，、、兩兩互相垂直，平行六面體是長方體，由定理1知四面體ABCD是等面四面體。

必要性

如果四面體ABCD是等面四面體，那麼、、兩兩互相垂直，所以四面體ABCD三雙對棱中點的連線兩兩互相垂直。

定理3 一個四面體是等面四面體的充要條件是對棱中點的連線是這雙對棱的公垂線。

證明 如圖1，平行六面體是四面體ABCD的外接平行六面體，則棱AB與CD中點的連線與平行，AC與BD的中點連線與平行，AD與BC的連線與平行。

充分性

因為四面體ABCD對棱AB與CD中點的連線是AB與CD的公垂線，所以平面，於是.同理可得，所以平行六面體是長方體，由定理1知四面體ABCD是等面四面體。

必要性

因為四面體ABCD是等面四面體，所以平行六面體是長方體，所以AB與CD的中點連線與平面、都垂直，即AB與CD的中點連線與AB、CD都垂直，所以AB與CD的中點連線是AB、CD的公垂線，同理可得AC與BD的中點連線是AC、BD的公垂線，AD與BC的中點連線是AD、BC的公垂線。

定理4 一個四面體是等面四面體的充要條件是四面體四個面的周長都相等。

證明充分性

設四面體ABCD中，且

，

由兩邊相加化簡，得

，

再由得

，

所以，同理得，所以四面體ABCD是等面四面體。

必要性

如果四面體ABCD是等面四面體，那麼，所以，於是四面體ABCD的各面周長相等。

定理5 一個四面體是等面四面體的充要條件是四面體四個面的面積都相等。

證明 充分性

如圖2，作四面體ABCD中△ABC和△BCD邊BC的高AE和DF，點G是EF的中點，連AG、DG，過點D作，作，與l相交於點H，連AH，點M是AD的中點，點N是DH的中點，連GN、MN，因為，所以。因為G是EF的中點，所以，因此。因為點M是AD的中點，所以.點G是EF的中點，點M是AD的中點，點N是DH的中點，.因為，所以平面AEH，因此，由此得,所以平面GMN,因此,由此得GM是AD與BC的公垂線，並且經過AD的中點，同理可得AD與BC的公垂線經過BC的中點，即AD與BC的中點連線是AD、BC的公垂線，同理可得AB與CD的中點連線是AB、CD的公垂線，AC與BD的中點連線是AC、BD的公垂線，由定理3知四面體ABCD是等面四面體。

必要性

如果四面體ABCD是等面四面體，那麼，所以，於是= = = 。

推論 一個四面體是等面四面體的充要條件是該四面體的高都相等。

定理6 一個四面體是等面四面體的充要條件是四面體內( 包括四面體各面所包含的三角形內的點以及棱上的點)任一點到該四面體各面距離的和是定值。

定理7 一個四面體是等面四面體的充要條件是該四面體三雙對棱為棱的二面角對應相等。

證明 充分性

設四面體ABCD中以AB、CD為棱的二面角相等，以AC、BD為棱的二面角相等，以AD、BC為棱的二面角相等，那麼由三面角全等的判定定理知，所以，於是，同理可得, 所以四面體ABCD是等面四面體。

必要性

因為四面體ABCD是等面四面體，那麼，由三面角全等的判定定理知四面體ABCD中以AB、CD為棱的二面角相等，同理可得四面體ABCD中以AC、BD為棱的二面角相等，以AD、BC為棱的二面角相等。

定理8 一個四面體是等面四面體的充要條件是該四面體每一頂點的三個面角的和都等於180°。

定理9 一個四面體是等面四面體的充要條件是該四面體的每一頂點與對面三角形重心的連線等長。

定理10 一個四面體是等面四面體的充要條件是從四面體任一頂點出發的三個面之間所成的三個二面角的餘弦之和等於1。

定理11一個四面體是等面四面體的充要條件是四面體任一面與其他的面所成的三個二面角的餘弦之和都等於1。

定理12 等面四面體各面是全等的銳角三角形。

證明 設四面體ABCD是等面四面體，所以，因此，根據三面角的基本性質，得，由定理8得，所以。同理可得，所以是銳角三角形。因為所以四面體ABCD各面是全等的銳角三角形。

定理13 等面四面體的重心、外心、內心重合。

推論 一個四面體是等面四面體的充要條件是該四面體的重心、外心、內心重合。