緊集

在度量空間內，緊集還可以定義為滿足以下任一條件的集合：

i)任意列有收斂子列且該子列的極限點屬於該集合（自列緊集）；

ii)具備Bolzano-Weierstrass性質；

iii)完備且完全有界。

緊集具有以下性質：

1.點集是緊集的充分必要條件是它為有界閉集。

2.緊集在連續函數下的像仍是緊集。

3.豪斯多夫空間的緊子集是閉集。

4.實數空間的非空緊子集有最大元素和最小元素。

5.Heine-Borel定理：在Rn內，一個集合是緊集當且僅當它是閉集並且有界。

6.定義在緊集上的連續實值函數有界且有最大值和最小值。

7.定義在緊集上的連續實值函數一致連續。

從某種意義上，緊集類似於有限集。舉最簡單的例子而言，在度量空間中，所有的有限集都有最大與最小元素。一般而言，無限集可能不存在最大或最小元素（比如R中的(0, 1)）,但R中的非空緊子集都有最大和最小元素。在很多情況下，對有限集成立的證明可以擴展到緊集。一個簡單的例子是對以下性質的證明：定義在緊集上的連續實值函數一致連續。

自列緊集：每個有界序列都有收斂的子序列。

可數緊集：每個可數的開覆蓋都有一個有限的子覆蓋。

偽緊：所有的實值連續函數都是有界的。

弱可數緊緻：每個無窮子集都有極限點。

在度量空間中，以上概念均等價於緊集。

以下概念通常弱於緊集：

相對緊緻：如果一個子空間Y在母空間X中的閉包是緊緻的，則稱Y是相對緊緻於X。

准緊集：若空間X的子空間Y中的所有序列都有一個收斂的子序列，則稱Y是X中的准緊集。

局部緊緻空間：如果空間中的每個點都有個由緊緻鄰域組成的局部基，則稱這個空間是局部緊緻空間。