算術基本定理
歐幾里得提出的數學定理
算術基本定理，又稱為正整數的唯一分解定理，即:每個大於1的自然數均可寫為質數的積，而且這些素因子按大小排列之後，寫法僅有一種方式。
任何一個大於1的自然數N，都可以唯一分解成有限個質數的乘積 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 這裡P_1 <... 質數，其諸方冪 ai 是正整數。
這樣的分解稱為N 的標準分解式。
算術基本定理的最早證明是由歐幾里得給出的。
用反證法：假設存在大於1的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為n。
自然數可以根據其 可除性（是否能表示成兩個不是自身的自然數的乘積）分成3類：質數、合數和1。首先，按照定義， n 大於1。其次， n 不是質數，因為質數p可以寫成質數乘積：p=p，這與假設不相符合。因此n只能是合數，但每個合數都可以分解成兩個嚴格小於自身而大於1的自然數的積。設其中 a 和 b 都是介於1和 n 之間的自然數，因此，按照 n 的定義， a 和 b 都都可以寫成質數的乘積。從而
也可以寫成質數的乘積。由此產生矛盾。因此大於1的自然數必可寫成質數的乘積。
引理：若質數 p | ab，則 p | a∨p | b正確（兩者至少有一為真命題）。
引理的證明：若 p | a 則證明完畢。若，那麼兩者的最大公約數為1。根據裴蜀定理，存在( m, n) 使得 ma + np = 1。於是 b = b( ma + np) = abm + bnp。由於 p | ab，上式右邊兩項都可以被 p整除。所以 p | b。
再用反證法：假設有些大於1的自然數可以以多於一種的方式寫成多個質數的乘積，那麼假設 n 是最小的一個。
首先 n 不是質數。將 n 用兩種方法寫出：
根據引理，質數
所以中有一個能被 p1整除，不妨設為 q1。但 q1也是質數，因此 q1 = p1 。所以，比n小的正整數也可以寫成這與 n 的最小性矛盾！
因此唯一性得證。
（1）一個大於1的正整數N，如果它的標準分解式為： N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an)
那麼它的正 因數個數為（1+a1)(1+a2).....(1+an)。
（2）它的全體正因數之和為d(N)=(1+p_1+...p_1^an)(1+p_2+...p_2^a2)...(1+p_n+...+p_n^an)
當d(N)=2N時就稱N為 完全數。是否存在奇完全數，是一個至今未解決之猜想。
（3）利用算術基本定理可以重新定義整數a和b的 最大公因子（a,b）和 最小公倍數[a,b], 並證明ab=(a,b)[a,b].
（4）此外還可證明根號2是 無理數等等（畢達哥拉斯）。
（5）證明素數個數無限。
