投票制度

投票制規選達式，及轉化。研究投票制稱“投票論”，始紀，各投票制提嚴謹義改良建議，屬政治、濟、科。

投票制詳細規“選票”形式，及計算投票算。投票單選獲勝，獲勝，構選舉。投票制選投票權配，及選配獨選區。

選舉際操投票制課題。投票制指選票紙制，卡票，投票。投票制指保護選隱私、確計算選票、誰擁投票權。屬廣泛選舉選舉制研究範圍。

不同投票制度有不同形式的選票。在次序投票制里，如同排序複選制和波達計數法（Borda Count），選民根據支持程度將選項排序。而在計分投票制（Range voting）里，選民則給每個選項評分。在多數制（也被稱為“最高票者當選制”）中，選民只能選擇一個項目；而在認可投票制里，選民可以選擇任何候選項目；在與能投票制中，選民可以在選票上圈選多個候選項目。其中，可圈選的項數，可依據不同民情而設定不同計算公式。而在累積選舉制里，選民可以投給同一個候選人許多票。

其他投票制度的選票還有其他安排，例如選民可以寫下候選人的姓名，或者選民可以否決所有選項（如果成立，則選舉就必須從提名階段重新進行）。

許多選舉以“一人一票”的概念進行，即每名選民的選票有相同價值。然而，例如在公司的選舉里，選票的價值通常依據投票者所持有的公司股份計算，變成“一股份一選票”。

在部分選舉中，選票的價值因應投票者的地位而定。而在特殊情況下，例如投票平手時，其中一名投票者獲特權再投一票以決定勝負。擁有這種特權的投票者可能原先並沒有投票權，例如美國參議院中，美國副總統一般情況下沒有投票權，他只能在議會投票平手時，才可以投票，所以實際上他那一票的價值是較一般選票為少。

選票份量和選票動員力是不同的，因為每名人士不一定是各自獨立行事，他們往往會組織起來共同投票。動員力高的投票團體，其成員投票選擇近乎一致（例如議會裡的政黨），足以改變選舉結果。議會中政黨會組成聯盟以增加影響力。

不少投票制度的要求比過半數更為嚴格，例如要求絕對多數才能改變現狀，最極端的例子是要求全體一致通過的制度。如果投票旨在決定是否接受新成員加入，否決新成員加入的選票被稱為“黑球反對票”（Blackball）。

另一種改變現狀的機制，則要求參與投票人數符合法定最低人數要求。通常法定人數指參與投票人數，而不是投票支持的人數，但這種制度往往促使反對者以拒絕投票的方法，阻止會議達到法定人數。

選舉通常為了選出多名立法機構成員。選舉可以不劃分選區，也可以由各自的選區選出代表。

以色列等國家便採用單一選區的制度來選出整個國會。而愛爾蘭、比利時等則將國家劃分為許多小型選區。美國、英國則採用單一獲勝者的制度。一些則採用單一選區兩票制，亦有將小型地區歸入大型選區的制度。

選區劃分和議席分配的方式可能會戲劇性地改變選舉結果。依據人口普查所得的人口數據，選區會重新分配議席數目。而重新劃分選舉區則是將選區的界線重新調整。兩種過程都有可能改變選舉的結果，因此都極具政治爭議性。有時也可能被政治操作而導致選區劃分不公，被稱為傑利蠑螈（Gerrymandering）。

單一獲勝者的制度可以由選票的形式分類。二元投票制度里選民可以選擇是否投給一個候選人。在次序投票制里選民依據其喜好排列候選人順序。在計分投票制里，選民則替每個候選人打分數。

最普及的單一獲勝者制度顯然是多數制（也稱為“最高票者當選制”、“相對多數決”、或“獲勝者全得”）。每個選民投給一個選項，取得最多選票的選項獲勝，即使沒有取得半數亦然。

認可投票制是另一種二元投票制的方法，選民可以投給每一個候選人，取得最多認可的候選人當選。

與能投票制也是一種二元投票制的方法。選民在選票上可以圈選多個候選人（至於可圈選數，可依民情設定不同計算公式）；而且選民必須在一張選票上恰好將圈項數全部用完，才算是有效票。

決賽投票制則以多回合的多數決選舉來確保當選者是由多數選出。前兩名決賽的投票是第二常用的選舉方法，假如沒有過半數的獲勝者出現，便由得票數前兩名的候選人再次進行決賽。在淘汰決賽選舉里，名次最後的候選人會被逐一淘汰，直到出現過半數為止。而在消耗性決賽選舉里，沒有候選人會被淘汰，因此選舉將不斷重複直到出現過半數為止。

隨機投票則是讓每個投票者投給一個選項，並隨機抽選一張選票來決定獲勝者。這種方法大多是用於在其他方法產生平手結果時決賽之用。

也被稱為優序投票制，這些方法讓每個選民自行依照喜好排序候選人。通常並不一定需要排序所有的候選人：沒有被排序的候選人通常會被計算為排序最低者。一些排序投票法也允許投票者將多重的候選人列為同一名次。

最常見的排序投票法是排序複選制（Instant-runoff voting,IRV），也被稱為“順位同票制”或“優序投票制”，投票者的排序能夠扮演淘汰功能，而無須再進行額外的淘汰投票。在計算票數時，最少被列為第一順位的選項將被淘汰。在接下來幾輪的計票中，那些第一順位已經被淘汰的選票所選擇的第二順位仍然有效。最少被選擇的選項在一輪接著一輪的計票中被逐一淘汰，直到出現過半數的獲勝者為止，過程中所有的選票在每一輪的計票中都會被計算到。

波達計數法（Borda Count）是較為簡單的排序投票法，每個選項藉由選票上的排序來取得積分，積分最高者獲勝。另一個類似的方法則是位置投票制。

孔多塞制（Condorcet voting），或稱雙序制，是以孔多塞準則衍生的投票制度。這種方法將每個選項與所有其他的選項成對比較，一次一個，而擊敗所有其他選項的選項便是贏家。只要一個選項在大多數選票上的位置高於另一個選項，那麼它便擊敗了那個選項。

這些方法通常被稱為孔多塞制，因為孔多塞準則確保了它們在大多數選舉中都能獲得一樣的結果，也就是存在著一個孔多塞贏家。不同孔多塞制之間的差別在於出現沒有選項被擊敗時的情況，意味著產生了一個選項之間不斷擊敗對方的循環，這被稱為孔多塞悖論。為了解決孔多塞悖論的循環，當沒有孔多塞贏家出現而選擇特定孔多塞版本來決定贏家的狀況被稱為孔多塞完結法。

另一個簡單的孔多塞制是最大最小（Minimax）制：如果沒有選項沒被擊敗，那麼被最少的選票擊敗的選項獲勝。近年來還有由馬庫斯·舒爾茨（Markus Schulze）設計的舒爾茨制，以及尼科勞斯·泰德曼（Nicolaus Tideman）設計的排列成雙制（Ranked Pairs），兩種方法都以達成眾多投票制度評價標準為目標。

計分制甚至比排序制更為靈活，但設計用來使用它們的方法並不多。每個投票者給每個選項評分，評分可以使用數字（例如從0至100）或者“等級”如A/B/C/D。

在計分投票制里，投票者給予每個選項數字分數，總和分數最高的選項獲勝。認可投票制或與能投票有時會使用0或1來表示認可與否，因此也可以被視為計分制的一種形式。

累積選舉制則規定了一定的點數，由投票者自行配點。累積選舉制也常被用於一些投票者權力不相等的投票中，例如依據股份採取“一張股票，一張選票”的公司投票。累積選舉制也被用於多重獲勝者的選舉中，例如公司董事會成員的選舉。

計分投票制也可以被用於排序投票制，只要排序制里允許選民排出同樣名次的選項。一些排序制假定選票上的名次都不相同，但一些投票者也可能會給兩個以上的候選項目相同的排名。

會出現多重獲勝者制度的選舉，例如立法機構議員的選舉，在實行上會與單一獲勝者的選舉不同。通常在多重獲勝者選舉中，參與者會較為關切己方在立法機構里取得的整體議席數量，而不是特定的候選人是否當選。也因此，許多多重獲勝者選舉都採用比例代表制，表示如果某個政黨取得了X%的選票，那它們就能取得在立法機構里X%的議席數。但並非所有多重獲勝者選舉都會採用比例代表制。

非比例制和半比例制

許多多重獲勝者選舉都只簡單地沿用單一獲勝者選舉的方法，而沒有依照明確的比率。在集團投票制（Bloc voting）里，每個選區分配N個應選議席，得票數最高的前N名當選。由於時常會有一些壓倒性的單一獲勝者出現，因此集團投票並非比例制的。另外兩種以多數決為基礎的類似方式是複數選區單記不可讓渡投票制和之前述及的累積選舉制。與集團投票不同的是，在複數選區單記不可讓渡投票制或累積選舉制中，選民可能會採取配票或戰略提名的方式而達成比例的平衡。

雖然這兩種制度並沒有保證比例的平衡，但選民的行動可能產生比例平衡的結果，也因此複數選區單記不可讓渡投票制和累積選舉制被分類為半比例制。其他可以被視為半比例制的方法還包括混合制—結合了普選與政黨提名名單的選舉。

比例制

真正的比例制則會以一些方式保證每個獲勝的候選人都代表著相同數量的選票。這個數量被稱為配額。舉例而言，在一定的誤差範圍內，如果配額是1000張選票，那麼每個當選的候選人就代表著1000張選票的民意。

大多數的比例制都是採用政黨名單比例代表制，選民投給支持的政黨而非特定的候選人，依據政黨取得的選票配額數量分配議席。這些制度決定配額的方式也各有差異，相同的，在如何搭配選票數量和議席數量上的方式也有差異。

分配議席的方式可以被分類為最高平均數法和最大餘額方法。最大餘額法以選票的數量設定特定的配額，而最高平均數法則直接除以選票的數量來決定配額。

政黨的名單可以分為開放名單或是封閉名單，在開放名單制度里，投票者能決定要投給政黨里的哪個特定候選人。在封閉名單制度里，議席則由政黨自行分派。而混合比例制度（Mixed Member Proportional, MMP）則結合了兩種名單的方法，只以政黨的名單作為輔助，搭配地區性選舉所選出的議席，因此有了兩種名單制度的特色。

與政黨名單制度相較，單記可讓渡投票制則是由選民依照喜好排列候選人的比例代表制。與政黨名單不同的是，單記可讓渡投票制並非取決於候選人的政黨，選票是經由和排序複選制類似的方法轉移，計票時選票上的所有排序都會被計算到。

在現實世界，人們對於一個投票制度的態度往往取決於那個制度對他們支持或反對的政黨所產生的影響。這使得要客觀評估一個投票制度變的相當困難。為了能夠公正而不帶意識形態的比較投票制度，投票理論家使用投票制度標準，在數學上定義投票制度的理想屬性。

一個投票制度是不可能達成所有標準的。經濟學家肯尼斯·約瑟夫·阿羅提出了阿羅不可能定理（Arrow's impossibility theorem），指出幾種投票制度各自的優點是互相矛盾的，也因此，選擇投票制度時必須衡量到哪種標準才適用於那次選舉。

使用這些標準來衡量投票制度並不一定是完全客觀的。舉例而言，要設計一個和某種投票制度符合的標準並不困難，但這種帶有偏見的評量標準卻沒有考慮到其他方法的存在。沒有人能確定何種標準才是正確的，以下只是一些被多數投票理論家認同的標準：

1.多數決標準——如果有一個被多數人所支持的候選人存在，他是不是一定能獲勝呢？

2.單調性標準——在選票轉移的過程中，一個原本獲得更高順序的候選人是否會因此失敗，而一個原本順序較低的候選人是否會因此當選？（舉例而言，有三個候選人甲乙丙，甲獲得最多選民列為第一支持對象，乙次之，丙則獲得最少，因此丙被淘汰。但緊接著丙的選票被轉移，之中將乙列為第二支持對象的較多，進而逆轉原先第一支持對象的結果，使甲落選）

3.一致性標準——如果將全體選票切割為兩半各自計票，得出的結果是否與原先一致？

4.參與度標準——投票制度是否會導致故意不參與投票的現象出現？（舉例而言，在法定最低人數的限制下，投票者可能會採取拒絕投票的方式）

5.孔多塞標準——如果一個候選人在個別的成對比較里擊敗了所有候選人，他是不是一定能獲勝呢？

6.孔多塞輸家標準——如果一個候選人在個別的成對比較里輸給了所有候選人，他是不是一定會輸掉呢？7.獨立性標準——如果添加或移除失敗的候選人的選票，結果是否一定相同？

8.無複製標準——如果添加與候選人完全相同的克隆人參與，結果是否會相同？以下列表顯示了這些標準對一些單一獲勝者制度的評價，排列順序大致等同它們在現實世界的普及性。

除了以上的標準以外，仍有一些無法以數學衡量的投票制度標準，例如制度的簡易性、計票速度、過程中被操弄或結果引發爭議的可能性、造成戰術投票和戰略提名現象的可能性，以及在多重獲勝者制度中分配比例的平均性，這些也都是相當重要的。

投票理論在法國大革命時期浮現成為學術界的一門研究領域。讓-查理斯·波達（Jean-CharlesdeBorda）在1770年提出了波達計數法來選舉法國科學院（Académiedessciences）的成員。他的制度被馬奎斯·孔多塞（MarquisdeCondorcet）所反對，孔多塞另外發明了一種成雙比對法。孔多塞的方法成為了孔多塞制。

波達和孔多塞通常被視為投票理論的創始人，不過最近的研究則顯示哲學家雷蒙·盧爾（RamonLlull）早在13世紀便以發現波達計數法和孔多塞標準，記載了這些發現的手稿一直到2001年才被發現。

在18世紀後期，與選區劃分有關的議題也開始被研究。由於美國憲法規定眾議院必須依照各州的人口分配議席，但卻沒有指定如何分配，因此開始了針對如何公平劃分選區的研究。亞歷山大·漢彌爾頓（AlexanderHamilton）、托馬斯·傑斐遜、和丹尼爾·韋伯斯特（DanielWebster）等政治家都提出了各種解決方案。一些美國的分配方式後來也在19世紀的歐洲運用，用以在新的政黨名單比例代表制里劃分議席。

單記可讓渡投票制在1855年由丹麥數學家卡爾·安德烈（CarlAndræ）發明，英國的索瑪斯·黑爾（ThomasHare）也在1857年發明了這種制度。1856年的丹麥選舉和1896年的塔斯馬尼亞都採用了單記可讓渡投票制。政黨名單比例代表制在20世紀初期於歐洲出現，用以選舉立法機構議員，第一個採用的是1900年的比利時。從那時開始，幾乎每個民主國家都採用了比例制或半比例制的方法，除了英國的前殖民地例外。

或許是受到多重獲勝者制投票方法的快速發展所影響，19世紀時理論家們也開始發表關於單一獲勝者制的新方法。這開始於1870年左右，WilliamRobertWare提議將單記可讓渡投票制的方法運用至單一獲勝者制的選舉，產生了排序複選制很快地，數學家們開始重新撿視孔多塞的概念，併發明了新的方法以達成孔多塞完結。EdwardJ.Nanson結合了新的排序複選制與波達計演演算法，創造出一種新的孔多塞方法。路易斯·卡羅發行了關於投票理論的小冊子，專門針對孔多塞的制度，他提出以矩陣來分析孔多塞選舉的方法，不過這些方法也是早在13世紀雷蒙·盧爾的手稿里便已被提出。他也提出了一種直接的孔多塞方法，被稱為卡羅制。

排序投票制也取得了更多支持而得以運用在政府選舉里。在澳大利亞，排序複選制首先在1893年被採用，並一直維持。在20世紀初期，美國的許多市鎮開始採用巴克林投票制（Bucklinvoting），但選民對產生的結果不滿，不久后巴克林投票制便不再採用，並且在明尼蘇達州被宣布違反了憲法。

自從約翰·馮·諾伊曼和其他人在1940年代將博弈論帶進數學領域后，有了新的數學工具能用以分析投票制度和投票的策略。這使得投票理論的領域產生重要的改變。肯尼斯·約瑟夫·阿羅提出了阿羅不可能定理，證明在投票制度的評價里，有些標準其實是互相矛盾的，也證明了投票定理的固有限制。阿羅的定理是早期投票理論最常引用的，也產生了進一步的重要理論，例如吉伯-薩特維定理（Gibbard-Satterthwaitetheorem），顯示在許多一般情況下，戰略投票是不可避免的現象。

運用博弈論來分析投票制度也使人們發現了一些投票制度里所帶來意外影響。杜偉傑法則（Duverger'slaw）便是這種例子之一，顯示了多數制經常會產生兩黨制的結果。

投票理論學界對於投票制度標準的研究就如同研究特定投票制度一樣重要。要指出一個投票制度的優點或缺點都必須有數學定義的標準的支持。最近在投票理論的研究主要都集中於發明新的標準和方法，以符合特定的某些標準。

網際網路的出現也增長了對投票理論的興趣，與其他數學領域不同的是，投票理論一般而言較為簡易，非專業的業餘人士也可以發現新的理論結果。也因此，最近許多關於投票理論的發現並非來自於出版的文件，而是來自業餘愛好者們非正式的網路討論區和論壇之間。

對於投票制度的研究也促成了許多要求選舉改革的聲浪，要求以其他方式代替現行政府選舉採用的制度。許多美國的市鎮在2000年代開始採用排序複選制。紐西蘭在1993年的國會選舉里採納了混合比例制度，並在2004年的一些地方選舉里採用了單記可讓渡投票制。加拿大的不列顛哥倫比亞省也將在2008年的第二次公民投票里採用單記可讓渡投票制。一些更廣泛的投票制度也被某些非政府組織採用了。