一致覆蓋

一致覆蓋(uniform cover)是一致空間X上的一類特殊的覆蓋。設U是X上的一致結構。對於每一U∈U，若：

C(U)={U(x)|x∈X}，

其中U(x)={y|(x，y)∈U}，則C(U)是X的一個覆蓋。X上的覆蓋C稱為關於U的一致覆蓋，若C是某一C(U)的加細，其中U∈U。若S是X上的一致覆蓋族，S誘導的X上的一致結構為U，則S中的元恰好是關於U的所有一致覆蓋。

一致結構是集合上的一種結構。設X為集合，U為X×X的非空子集族。若U滿足下列條件，則稱U是X上的一致結構：

1.U的每一個元包含對角線Δ.

2.若U∈U，則U∈U，其中

U={(x，y)|(y，x)∈U}.

3.若U∈U，則存在V∈U使得V°VU，其中

4.若U，V∈U，則U∩V∈U.

5.若U∈U並且UVX×X，則V∈U.

具有一致結構U的集合X稱為一致空間，記為(X，U)。一致空間的概念是韋伊(Weil，A.)於1938年引入的。布爾巴基(Bourbaki，N.)於1940年首先給予系統的論述。圖基(Tukey，J.W.)於1940年用覆蓋族定義並研究了一致空間的等價的概念。艾斯貝爾(Isbell，J.R.)於1964年出版的書中，包含了用覆蓋敘述的一致空間理論的重要發展。一致空間也可用偽度量族來描述，它是由布爾巴基於1948年給出的。

覆蓋是數學的一個重要概念。這裡指一類節點子集。具體地說，圖的一個節點子集使該圖的每一條邊都與這個子集中一個節點關聯，稱這樣的節點子集為覆蓋集，也稱點覆蓋集，簡稱覆蓋。圖G的最小覆蓋，也稱最小點覆蓋，是指在圖的所有覆蓋中，節點數最少的覆蓋。G的最小覆蓋的節點數稱為G的覆蓋數，或點覆蓋數，常記為β(G)。一個圖稱為覆蓋臨界圖，或點覆蓋臨界圖，若從這圖上去掉任何一條邊后，所得的圖的覆蓋數都小於原圖的覆蓋數。設有一個最小覆蓋M，若對於它的任何一個子集M′，與M′中節點相鄰的不在M中的節點的數目總不比M′的節點數少，則稱M為一個外部最小覆蓋或外最小點覆蓋。不是任何一圖都有外最小覆蓋。事實上，一個圖有外最小覆蓋當且僅當它有一個點核，或邊核。

拓撲空間的基本概念。一種特殊的集族。設A是由集合組成的族。若它的所有成員的並包含集合B，則稱該集族A是B的一個覆蓋，或稱A覆蓋B.在拓撲空間X中，若A的每一成員都是X的開集(或閉集)，並且A覆蓋X，則稱A是X的開覆蓋(或閉覆蓋)。若A的子族A也是B的覆蓋，則稱A是A的子覆蓋。當覆蓋A為有限集或可數集時分別稱A為有限覆蓋或可數覆蓋。

一致覆蓋族是一類特殊的覆蓋族。設S={U}是集合X的覆蓋族。稱S為X上的一致覆蓋族，若S滿足下列條件：

1.對於X的任意覆蓋U，若存在U∈S，使得U是U的加細，則U∈S。

2.對於任意U，U∈S，存在U∈S使得U是U與U的共同加細。

3.對於任意U∈S，存在U∈S，使得U是U的星加細。

當X的覆蓋族S滿足條件3時，稱S為一致覆蓋族的子基。又當S滿足條件2與3時，稱S為一致覆蓋族的基。設S為X上的一致覆蓋族，對於任意x∈X，若把

{U(x)|U∈S}

確定為x的鄰域系，則在X上可誘導出拓撲，稱此拓撲為由S誘導的X上的拓撲。由X上的一致覆蓋族S可惟一確定X上某個一致結構U，使得由S誘導的X上的拓撲恰好是由U誘導的X上的一致拓撲。上述U的基是所有形如

∪{A×A|A∈A}

的集族，其中A是S中的元。

一致拓撲是指由一致結構誘導的拓撲。設(X，U)為一致空間，T是X的子集，滿足：對於任意x∈T，存在U∈U使得U(x)T，其中U(x)={y|(x，y)∈U}.所有這種T組成的集族T是X上的一個拓撲，稱為由一致結構U誘導的拓撲或一致拓撲。當由一致結構U誘導的拓撲空間X為緊空間時，則和X的拓撲一致的一致結構是惟一確定的。一致空間是完全正則的，並且完全正則空間具有和它的拓撲一致的一致拓撲。即有下述結果：集合X上的拓撲T為X上的某個一致結構的一致拓撲的充分必要條件是，(X，T)為完全正則空間。