尼古拉·布爾巴基

布爾巴基在集合論的基礎上用公理方法重新構造整個現代數學。布爾巴基認為：數學，至少純粹數學，是研究抽象結構的理論。結構，就是以初始概念和公理出發的演繹系統。有三種基本的抽象結構：代數結構，序結構，拓撲結構。他們把全部數學看作按不同結構進行演繹的體系。布爾巴基在《數學原本》(éléments de mathématique)的題名下分卷出版了如下專著：

第1卷集合論

第2卷代數

第3卷拓撲

第4卷單實變函數

第5卷拓撲向量空間等

第6卷積分

第7卷交換代數

第8卷李群等

最後的第9卷譜理論執筆始於1983年，出版工程至此告終。只是在20世紀末，增補了交換代數的簇理論。

《數學原本》有七千多頁，是有史以來最大的數學巨著。徹底追求嚴格性和一般性的敘述方法被稱為“布爾巴基風格”。

布爾巴基對嚴格性的強調在當時產生了很大的影響。這與當時儒熱-亨利·彭加萊（也譯作龐加萊）所強調的數學要依靠自由想象的直覺的說法分庭抗禮。布爾巴基的影響力隨時間而減弱，一個原因是布爾巴基的抽象並不顯得比發明者原初的想法更為有用，另一個原因是沒有包含像範疇論等重要的現代數學理論。儘管範疇論是由布爾巴基的成員艾倫堡所創立，格羅登迪克所推廣的，但是如果要容納範疇論，就不得不對已經出版的著作進行根本性的改寫。

儘管布爾巴基的一部分著作在相應的領域成了標準的參考書，但是那種近於嚴峻的表達方式使其難以成為教科書。布爾巴基書籍的鼎盛時期是在1950和1960年之間，那時很少有適合能用於研究生水平的關於純數學的教科書。

布爾巴基引入的記號有： \varnothing ；代表空集，黑板粗體字母表示數集（例如：\mathbb表示自然數集，\mathbb表示有理數集，\mathbb表示實數集，\mathbb表示整數集），還發明了術語“內射的”、“滿射的”和“雙射的”。

布爾巴基講座在戰後立即於巴黎開設，這個講座接連不斷地公開發表了各種綜述性論文，這些論文採用一種固定格式，用謹慎的風格寫成。

很少有人提及布爾巴基學派產生的歷史背景。從巴黎這個藝術氣息濃厚的布爾巴基的誕生地來看不太像是純粹偶然的。二戰前的巴黎是世界藝術的交流中心，世界上許多著名畫家來到巴黎，同時形成了許多新的藝術思潮。其中特別值得一提的是抽象主義流派的代表，俄羅斯畫家康定斯基，在他所著的《點、線、面》和《論藝術的精神》中對“什麼是繪畫本身的要素”進行了考察和闡述。布爾巴基對數學結構的分類看來與抽象主義有些“心有靈犀一點通”的感覺。但這絲毫不影響對布爾巴基的創造性的評價。康定斯基的抽象畫是前衛藝術鼎盛期的產物，抽象主義有它自己的歷史醞釀，當然還要有藝術家鍥而不捨的追求，並不是一朝一夕就能完成的。布爾巴基對數學所作的抽象要比抽象主義更徹底。了解這些背景有利於人們對布爾巴基學派作出恰如其分的評價。

布爾巴基的影響不僅僅局限於數學領域，他對後來的結構主義哲學所產生的影響也值得一提。布爾巴基在人類思想史的潮流中也有一席之地。

布爾巴基的早期成員時多時少。創始者五人全是巴黎高等師範學校出身，他們是安德烈·韋伊，亨利·嘉當，克勞德·謝伐利，讓·迪奧多內和讓·戴爾薩特。當時有一個初級會議，會議記錄在布爾巴基檔案中有存檔：「欲知初級會議的詳情，請與“數學諮詢組”的利麗安·布利尤接洽」；成立時的其他四名成員是讓·庫朗，夏勒·埃瑞斯曼，瑞內·德·波塞爾和佐勒姆·門德勃羅，而讓·勒瑞和保羅·杜布萊依在布爾巴基宣布正式成立之前退出。其他較后參加的有名成員有勞朗·舒瓦茲，讓-皮埃·塞爾，薩繆爾·艾倫堡，亞歷山大·格羅登迪克，塞爾格·朗格和羅傑·戈德門。

布爾巴基的最初目標是編撰一本改良的微積分教科書，不久他們就意識到有必要對整個數學進行一種綜合性的統一處理。當時，布爾巴基的成員身份是非公開的，團體內情是相當保密的，他們甚至故意提供假消息為樂。在定期會議上，全體成員對提出的每一部書稿進行逐字逐句的嚴格討論。布爾巴基有一條規定，成員到50歲必須退休。

“布爾巴基”取名於在普法戰爭中法國敗將的名字；至於成為學派的名字是出於一堂數學課的惡作劇的傳聞，也可能與一座雕像有關。這一名稱還與希臘數學有關，因為名為布爾巴基的人具有希臘血統。從字面上也可以解釋這一名字暗示了歐幾里德傳統被移植到1930年代的法國，並對此寄予質變的期望。

布爾巴基的區別有所爭議。原因是布爾巴基是一種姓氏的稱呼，所以有尼古拉·布爾巴基與金凱旋·布爾巴基，這都是來自不同的領域為人類服務和做出貢獻。雖然狩獵不同的領域，但是他們的宗旨卻是相同的。

尼古拉·布爾巴基直接在數學領域，而金凱旋·布爾巴基在詩詞即文學領域。各自給人類發展做出不可磨滅的貢獻，以及崇高的精神財富。

十分明顯，布爾巴基的觀點雖然是“百科全書”式的，但卻從來沒有想要保持中立。恰好相反，他們把熱情傾注於整體一致性的展示，例如對希爾伯特的形式主義和公理主義的遺產的處理上。但對現存理論總要施行一種“接納變換”，例如把張量微積分改名成多重線性代數，創建獨立於消元理論的交換代數，這在其前身理想理論時已成為主要傾向。希爾伯特在1890年代時已經顯示對非構造性方法的鐘愛，布爾巴基的行動使非構造性方法變得更加具體。

在下面例舉的領域裡布爾巴基有顯著的偏向：

計算性內容不上議題，幾乎完全被省略

解題被認為次於公理

分析論被“軟”處理，沒有“硬”計算

測度論掩蓋了Radon測度

組合學結構被視為非結構性的

邏輯只需最低限度(佐恩引理就已足夠)

應用全無提起

並且（“這是很自然的” - cela va sans dire))沒有圖示。

數學家總是喜歡軼事傳奇。布爾巴基的數學史並不缺少學術性，而是缺少“英雄史觀”，歷史是由那些經過奮鬥而終於得到清晰公理的獲勝者寫成的。

最終布爾巴基宣言還是產生了影響，特別是在純數學的研究生教育上。詳見本百科全書的相關部分。

新數學對初等數學教學幾乎沒有影響。比如說文氏圖的使用，一直可以追溯到19世紀教學法。對微積分和離散數學的分界之爭至今熱狂不減當年。

布爾巴基在國際數學界的帶頭作用可能已被1960年代的波恩工作會議計劃所取代。