帕德逼近

它不僅與逼近論中其他許多方法有著密切的關係，而且在實際問題特別是許多物理問題中有著廣泛的應用。設是在原點某鄰域內收斂的、具有復係數的馬克勞林級數。欲確定一個有理函數，式中,使得前次方的係數為0，即使得

此處約定。雖然所求得的和不惟一，但是比式卻總是惟一的。有理函數稱為的級帕德逼近，記為。由所形成的陣列稱為帕德表。

不難看出，帕德表中的第1行恰為冪級數F(z)的部分和序列。設的前項部分和為(z)，則可以證明F(z)的帕德逼近的定義等價於：按方程組

，

且來確定。進而，如果F(z)於原點處次連續可微，則把上式中的(z)替換成F(z)后，它仍然等價於帕德逼近的定義。稱由此而得的方程組

為帕德方程組。這種轉化使得在計算帕德逼近時不必事先寫出F(z)的馬克勞林展開式。只要，則可更進一步證明上述方程組又等價於

。

這樣一來，帕德逼近在確定條件下，等價於一個有理函數的重插值問題。

對一切非負整數，下述條件

稱為 的正規化條件。該條件在帕德逼近理論中起著很重要的作用。例如，當F(z)滿足正規化條件時，對一切m與n而言總是不可約的。

帕德逼近已經有很多計算方法，而且還有多種重要推廣。

帕德逼近序列的收斂性問題通常是十分困難而又頗有興趣的。鑒於帕德逼近表中主對角線上的帕德逼近的數值性質為最好，以下僅列舉一個有關的收斂性結果：設,且是一個正整數序列。假定在內全純並且滿足。則的帕德逼近序列在每一個緊子集上一致收斂於，此處E是一個α維豪斯多夫零測度集。