橢圓

6、離心率越小越接近於圓，越大則橢圓就越扁。

7、焦點（當中心為原點時）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）

8、與（m為實數）為離心率相同的橢圓。

9、P為橢圓上的一點，a-c≤PF1（或PF2)≤a+c。

10.橢圓的周長等於特定的正弦曲線在一個周期內的長度。

定理1：設F1、F2為橢圓C的兩個焦點，P為C上任意一點。若直線AB切橢圓C於點P，且A和B在直線上位於P的兩側，則∠APF1=∠BPF2。（也就是說，橢圓在點P處的切線即為∠F1PF2的外角平分線所在的直線）

定理2：設F1、F2為橢圓C的兩個焦點，P為C上任意一點。若直線AB為C在P點的法線，則AB平分∠F1PF2。

上述兩定理的證明可以查看參考資料。

解析幾何法求證橢圓切線定理：

解：設C:((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))=1-----式1;

(a^2)-(b^2)=(c^2);

F1(-c,0);F2(c,0);P(xp,yp)

AB:(y-yp)=k(x-xp)=>y=kx+(yp-kxp);令m=yp-kxp=>AB:y=kx+m-----式2;

聯立式1和式2消去y得:((k^2)+((b^2)/(a^2)))(x^2)+2kmx+((m^2)-(b^2))=0;

因為直線AB切橢圓C於點P，所以上式只有唯一解，則：

4((km)^2)-4((k^2)+((b^2)/(a^2)))((m^2)-(b^2))=0=>m^2=((ak)^2)+(b^2);

m^2=(yp-kxp)^2=((yp)^2)+((kxp)^2)-2kxpyp=((ak)^2)+(b^2);

=>((a^2)-(xp^2))(k^2)+2xpypk+((b^2)-(yp^2));

由根的判別式得：4((xpyp)^2)-4((a^2)-(xp^2))((b^2)-(yp^2))=0;

所以k值有唯一解：k=(-2xpyp)/(2((a^2)-(xp^2)))=-xpyp/((a^2)-(xp^2));

由式1得：(a^2)-(xp^2)=(ayp/b)^2=>k=-(xp(b^2))/(yp(a^2));

m=yp-kxp=(((ypa)^2)+((xpb)^2))/(yp(a^2))=((ab)^2)/(yp(a^2))=(b^2)/yp;

設A0F1、B0F2分別過F1、F2垂直AB於A0、B0；

A0F1:(y-0)=(-1/k)(x+c)=>x+ky+c=0-----式3；

聯立式2和式3消去y得：x=-(km+c)/((k^2)+1);

聯立式2和式3消去x得：y= (m-kc)/((k^2)+1);

則：A0:(-(km+c)/((k^2)+1),(m-kc)/((k^2)+1));

|A0F1|^2=((m-kc)^2)/((k^2)+1));

同理：B0F2:(y-0)=(-1/k)(x-c);

=>B0:((c-km)/((k^2)+1),(m+kc)/((k^2)+1));

|B0F2|^2=((m+kc)^2)/((k^2)+1));

|PF1|^2=((xp+c)^2)+(yp^2);

|PF2|^2=((xp-c)^2)+(yp^2);

證明：若∠APF1=∠BPF2，則直角三角形A0PF1與直角三角形B0PF2相似；

=>|A0F1|/|PF1|=|B0F2|/|PF2|

=>(|A0F1|^2)/(|PF1|^2)=(|B0F2|^2)/(|PF2|^2)

=>(|PF2|^2)/(|PF1|^2)=(|B0F2|^2)/(|A0F1|^2)

((m+kc)^2)/((m-kc)^2)=(((xp-c)^2)+(yp^2))/(((xp+c)^2)+(yp^2));-----式4

m+kc=(b^2)/yp-(xpc(b^2))/(yp(a^2))=((a^2)-xpc)(b^2)/(yp(a^2));-----式5

m-kc=(b^2)/yp+(xpc(b^2))/(yp(a^2))=((a^2)+xpc)(b^2)/(yp(a^2));----式6

把式5和式6代入式4得:

(((a^2)-xpc)^2)/(((a^2)+xpc)^2)=(((xp-c)^2)+(yp^2))/(((xp+c)^2)+(yp^2));

=>(((a^2)-xpc)^2)(((xp+c)^2)+(yp^2))=(((a^2)+xpc)^2)(((xp-c)^2)+(yp^2))

=>(((a^2)-xpc)^2)((xp+c)^2)+(((a^2)-xpc)^2)(yp^2)=(((a^2)+xpc)^2)((xp-c)^2)+(((a^2)+xpc)^2)(yp^2)

=>[(((a^2)-xpc)^2)((xp+c)^2)-(((a^2)+xpc)^2)((xp-c)^2)]=[(((a^2)+xpc)^2)-(((a^2)-xpc)^2)](yp^2)

=>[((a^2)-xpc)(xp+c)+((a^2)+xpc)(xp-c)][((a^2)-xpc)(xp+c)-((a^2)+xpc)(xp-c)]=4xpc(ayp)^2

=>(2(a^2)xp-2(c^2)xp)(2c(a^2)-2c(xp^2))=4xpc(ayp)^2

=>4xpc(b^2)((a^2)-(xp^2))=4xpc(ayp)^2

=>(b^2)((a^2)-(xp^2))=(ayp)^2

=>(ab)^2=((ayp)^2)+((bxp)^2)

=>((xp^2)/(a^2))+((yp^2)/(b^2))=1等式成立，∠APF1=∠BPF2得證

設F1、F2為橢圓C的兩個焦點，P為C上任意一點，則在橢圓焦點三角形F1PF2中，分別稱∠F1PF2的內角平分線，外角平分線與橢圓長軸的交點為內點，外點。（如右圖中的N,M點為內點，外點）

可以證明以下命題：在橢圓焦點三角形中： （ 1）內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為e（離心率）（2）內心將內點與非焦頂點連線段分成定必e （3）半焦距為內點，外點到橢圓中心距離的比例中項 證明：（1）：在橢圓焦點三角形F1PF2中，設N為內點，由內角平分線性質和合比性質得： NF1 /PF1= NF2/PF2=(NF1+NF2 )/(PF1+PF2)=2C/2a=e (2) ：設 內心為Q,則F1Q是∠F2F1P的內角平分線，則在△F1PN中，有QP/PF1=QN/NF1 ∴QN/QP=NF1/PF1 由（1）知NF1 /PF1=e 故QN/QP=e （3）：設M是外點，由外角平分線和內角平分線性質：MF1/MF2=PF1/PF2=NF1/NF2 故（OM-c）/（OM+c）=(c-ON)/(c+ON) 故ON×OM=c²

橢圓的面鏡（以橢圓的長軸為軸，把橢圓轉動180度形成的立體圖形，其內表面全部做成反射面，中空）可以將某個焦點發出的光線全部反射到另一個焦點處；橢圓的透鏡（某些截面為橢圓）有匯聚光線的作用（也叫凸透鏡），老花眼鏡、放大鏡和遠視眼鏡都是這種鏡片（這些光學性質可以通過反證法證明）。

（其中 分別是橢圓的長半軸、短半軸的長），或（其中 分別是橢圓的長軸，短軸的長）。

證：的面積，由於圖形的對稱性可知，只要求出第一象限的面積乘以4即可。

在第一象限 , 令

橢圓周長計算公式：L=T(r+R)

T為橢圓係數，可以由r/R的值，查表找出係數T值；r為橢圓短半徑；R為橢圓長半徑。

橢圓周長定理：橢圓的周長等於該橢圓短半徑與長半徑之和與該橢圓係數的積（包括正圓）。

附橢圓係數簡表：

關於橢圓的周長等於特定的正弦曲線在一個周期內的長度的證明：

半徑為r的圓柱上與一斜平面相交得到一橢圓，該斜平面與水平面的夾角為α，截取一個過橢圓短徑的圓。以該圓和橢圓的某一交點為起始轉過一個θ角。則橢圓上的點與圓上垂直對應的點的高度可以得到f(c)=r tanα sin(c/r)

r:圓柱半徑

α:橢圓所在面與水平面的角度

c:對應的弧長（從某一個交點起往某一個方向移動）

以上為證明簡要過程，則橢圓（x*cosα）^2+y^2=r^2的周長與f(c)=r tanα sin(c/r)的正弦曲線在一個周期內的長度是相等的，而一個周期T=2πr，正好為一個圓的周長。

這是我在工作的時候，偶爾發現的，沒有引用，也沒有搜索到相關的文獻，可能有前輩在我之前就發現了，若有不妥，請諒解。

橢圓離心率的定義為橢圓上焦距與長軸的比值，（範圍：0

e=c/a(02c。離心率越大，橢圓越扁平；離心率越小，橢圓越接近於圓形。

橢圓的焦准距：橢圓的焦點與其相應準線（如焦點（c,0）與準線x=±a^2/c) 的距離為a^2/c-c=b^2/c

離心率與 的關係：

焦半徑

焦點在x軸上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex(F1,F2分別為左右焦點）

橢圓過右焦點的半徑r=a-ex

過左焦點的半徑r=a+ex

焦點在y軸上：|PF1|=a+ey |PF2|=a-ey(F2,F1分別為上下焦點）

橢圓的通徑：過焦點的垂直於x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩交點A,B之間的距離，即|AB|=2*b^2/a

斜率公式

過橢圓上x²/a²+y²/b²=1上一點（x，y）的切線斜率為 -b²X/a²y

焦點三角形面積

若有一三角形兩個頂點在橢圓的兩個焦點上，且第三個頂點在橢圓上

那麼若∠F1PF2=θ，則S=b²tan（θ/2）。

曲率公式

K=ab/[(b²-a²）（cosθ）+a²]

準線方程

（焦點在x軸上）

（焦點在y軸上）

准圓方程

准圓為

從准圓上任一點向橢圓引兩條切線，這兩條切線垂直。

通徑

l=2b^2/a

圓錐曲線（除圓外）中，過焦點並垂直於軸的弦

橢圓中的通徑是通過焦點最短的弦

幾何關係

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點與橢圓

點M（x0，y0）橢圓 x^2/a^2+y^2/b^2=1

點在圓內：x0/a+y0/b<1

點在圓上：x0/a+y0/b=1

點在圓外：x0/a+y0/b>1

跟圓與直線的位置關係一樣的

相交 相離 相切

直線與橢圓

y=kx+m ①

x/a+y/b=1 ②

由①②可推出xa+（kx+m)/b=1

相切△=0

相離△<0無交點

相交△>0 可利用弦長公式：設A(x1,y1） B(x2,y2）

求中點坐標

根據韋達定理 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a

代入直線方程可求出 (y1+y2)/2=可求出中點坐標。

|AB|=d = √（1+k）[(x1+x2）-4x1*x2] = √（1+1/k）[(y1+y2）-4y1y2]

應用

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例如：有一個圓柱，被截得到一個截面，下面證明它是一個橢圓（用上面的第一定義）：

將兩個半徑與圓柱半徑相等的半球從圓柱兩端向中間擠壓，它們碰到截面的時候停止，那麼會得到兩個公共點，顯然他們是截面與球的切點。

設兩點為F1、F2

對於截面上任意一點P，過P做圓柱的母線Q1、Q2，與球、圓柱相切的大圓分別交於Q1、Q2

則PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2

由定義1知：截面是一個橢圓，且以F1、F2為焦點

用同樣的方法，也可以證明圓錐的斜截面（不通過底面）為一個橢圓

例：已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的離心率為√6/3，短軸一個端點到右焦點的距離為√3.

1．求橢圓C的方程.

2．直線l：y=x+1與橢圓交於A，B兩點，P為橢圓上一點，求△PAB面積的最大值.

3．在⑵的基礎上求△AOB的面積.

一 分析短軸的端點到左右焦點的距離和為2a，端點到左右焦點的距離相等（橢圓的定義），可知a=√3，又c/a=√6/3，代入得c=√2，b=√（a^2-c^2）=1，方程是x^2/3+y^2/1=1，

二 要求面積，顯然以ab作為三角形的底邊，聯立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦長公式有√（1+k^2））[x2-x1]（中括弧表示絕對值）弦長=3√2/2，對於p點面積最大，它到弦的距離應最大，假設已經找到p到弦的距離最大，過p做弦的平行線，可以 發現這個平行線是橢圓的切線是才會最大，這個切線和弦平行故斜率和弦的斜率=，設y=x+m，利用判別式等於0，求得m=2,-2.結合圖形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p（1.5,-0.5），

三 直線方程x-y+1=0，利用點到直線的距離公式求得√2/2，面積1/2*√2/2*3√2/2=3/4,

手工畫法

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手繪法一

畫長軸AB，短軸CD，AB和CD互垂平分於O點。⑵：連接AC。⑶：以O為圓心，OA為半徑作圓弧交OC延長線於E點。⑷：以C為圓心，CE為半徑作圓弧與AC交於F點。⑸：作AF的垂直平分線交CD延長線於G點，交AB於H點。⑹：截取H，G對於O點的對稱點H’，G’ ⑺：H，H’為長軸圓心，分別以HA、H‘B為半徑作圓；G，G’為短軸圓心，分別以GC、G‘D為半徑作圓。

用一根線或者細銅絲，鉛筆，2個圖釘或大頭針畫橢圓的方法：先畫好長短軸的十字線，在長軸上以圓點為中心先找2個大於短軸半徑的點，一個點先用圖釘或者大頭針栓好線固定住，另一個點的線先不要固定，用筆帶住線去找長短軸的4個頂點，此步驟需要多次定位，直到都正好能於頂點吻合后固定住這2個點，用筆帶住線，直接畫出橢圓：）使用細銅絲最好，因為線的彈性較大畫出來不一定準確！

手繪法二

橢圓的焦距│FF'│（Z）定義，為已知橢圓所構成的長軸X(ab）與短軸Y(cd）則以長軸一端A為圓心短軸Y為半徑畫弧，從長軸另一段點B引出與弧相切的線段則為該橢圓焦距，求證公式為2√{(Z/2）^2+(Y/2）^2}+Z=X+Z（平面內與兩定點F、F'的距離的和等於常數2a（2a>|FF'|）的動點P的軌跡叫做橢圓），可演變為z=√x^2-y^2(x>y>0）。Z兩端點F、F'為定點。取有韌性切伸縮係數越小越好的線，環繞線段AF'或者FB線段任意一組為長度，以該長度為固定三角形周長，以F、F'　為定點、取構成該三角形上的第三點為動點畫弧則構成該橢圓。

手繪法三

環線長。根據橢圓的圖形特徵，採用環線表示動點與焦點間的距離關係，形成統一的圓形環線作圖法。具體方法簡介：（1）作圖工具為筆、大頭針、直尺和環形線。（環形線製作：取一段長度（30—50cm）和粗細適中彈性小的軟線、一段8mm長細電線空塑料管，軟線從塑料管中相向竄過，塑料管將軟線夾緊，但用力可以抽動，形成能收縮和放長的環形線）。（2）在作圖平面上作出各種圓形的定點和動點。（3）將大頭針分別直立、固定在定點上；（4）將符合長度的環形線套在大頭針外，畫筆由內向外拉直環線，通過調整環線的長度使筆尖剛好落在動點上；（5）將畫筆移動一周，即可作出各種圓的圖形。

環線作圖方法的最大特點，就是把圓形的動點與焦點間的距離關係以環線的方式聯繫起來，而不受焦點數目的影響，環線內可以容納任意焦點數目，為探討3個及其3個以上焦點數目的多焦點圓提供有效方法。環線作圖方法，屬於連續移動作圖法，適合不同大小的圓、橢圓和卵圓等作圖。

若用該方法畫規定半長軸a和半短軸b的橢圓，則，環線長

計算機方面

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Ellipse函數

函數功能

該函數用於畫一個橢圓，橢圓的中心是限定矩形的中心，使用當前畫筆畫橢圓，用當前的畫刷填充橢圓。

函數原型

BOOL Ellipse(HDC hdc,int nLeftRect,int nTopRect,nRightRect,int nBottomRect).

參數

hdc：設備環境句柄。

nLeftRect：指定限定橢圓左上角的X坐標。

nTopRect：指定限定橢圓左上角的Y坐標。

nRightRect：指定限定橢圓右下角的X坐標。

nBottomRect：指定限定橢圓右下角的Y坐標。

返回值

如果函數調用成功，返回值非零；如果函數調用失敗，返回值是0。

計算機圖形學約束

橢圓必須一條直徑與x軸平行，另一條直徑y軸平行。不滿足此條件的幾何學橢圓在計算機圖形學上視作一般封閉曲線。