孤立子

著例(- ) 程 的解。方程解的圖形（見圖）像一個孤立的脈衝，波峰高2α2，速度為4α2。當兩個這樣的脈衝波沿同一方向運動時，峰高的波速度快會趕上前面峰低的波而發生碰撞。1965年M.D.克魯斯卡爾和N.J.扎布斯基在電子計算機上作數值試驗后，意外地發現兩個這樣的波在碰撞后，居然都能保持各自的波形和速度不變。這一性質使人聯想起粒子，因之將這樣的波稱為孤立子(波)。早在1934年,J.S.羅素已在河流中觀察到這種非線性波。現在人們已經發現很多在應用中十分重要的非線性波方程, 如正弦-戈登方程(SG方程)uxt=sinu,非線性薛定諤方程等等都具有這種孤立子解。近年來，發現在等離子體光纖通信中都有孤立子現象，科學家們還認為神經細胞軸突(axon)上傳導的衝動、木星上的紅斑等都可以看作是孤立子。孤立子反映了自然界中一類相當普遍的非線性現象。由於孤立子同時具有波和粒子兩重性質，引起了理論物理學家的極大關注，他們嘗試用它來描寫基本粒子。但在應用中，上述的孤立子的定義，在各種不同意義上有所放寬。

求具孤殊非線性方程，自1967年起發展了一種散射反演方法。該方法的特色是將這類非線性問題的解轉化為線性問題來求解，最初是C.S.伽德納等人於1967年首先對KdV方程提出的。他們發現KdV方程和常微分運算元的特徵值問題 有密切的關係。特別，若微分運算元中所含u（稱為位勢）取為KdV方程的解時，運算元的特徵值λ與時間t無關。於是，求解KdV方程的初值問題可以轉化為求解上述特徵值問題的正問題和反問題。其正問題是指已知初值u(x,0)=ƒ(x)求出與運算元的特徵值等相關的一組量。這一組量稱為散射量。其反問題是指已知t時刻的散射量來複原位勢u(x,t)。散射量本身隨時間t的演化規律十分簡單，關鍵的步驟是求解反問題，而這一步歸結為求解一個線性積分方程。伽德納等人用這種方法成功地求出了KdV方程的單個孤立子解以及由N個孤立子疊加起來的N重孤立子解。1968年 P.D.拉克斯對伽德納等人的思想從泛函分析的角度作了十分清楚的表述，指出KdV方程可以寫成lt=【A,l】形式，其中【A,l】=Al-lA，l和 A為與u有關的線性常微分運算元。由於它在孤立子理論中的重要作用，後人便將它稱作拉克斯方程，並將其l和A稱為拉克斯對。此後又有許多人考察了一類二階矩陣常微分運算元的特徵值問題，導出了與之相連的一族廣泛的非線性演化方程，並建立了與該特徵值問題的反問題相關連的線性積分方程。自此以後，散射反演方法逐漸發展成一種求解非線性方程初值問題的系統方法，引起了數學界的廣泛重視。

除散射反演，貝隆換，程另換。程凡(u=0)出發，經簡單積分或代數運算導出方程的一系列特解。一個經典例子是Bα：u0→u1，這裡u1是由，確定的。只要u0是SG方程的解，則由上式可解出u1,它也是SG方程的解。式中α為自由參數。特別，取平凡解u0=0，可解得,這是SG方程的一種孤立子解，稱之為扭，解中的正負號分別代表兩種相反的旋轉方向(正扭與反扭)。貝克隆變換的一個重要性質是它的可交換性,其中Bα表示參數為α的貝克隆變換。由此性質可以導出解的非線性疊加公式:,其中,，。取u0=0時的u1,u2即為上述的“扭”孤立子解，代入上面的疊加公式就得SG方程的兩重孤立子解

令α=ib，得

圖像為正扭與反扭周期地接近又離開，如一個鼻孔呼吸，故又稱“呼吸子”。應用貝克隆變換可有效地求出一些非線性方程的特解，其中有些用散射反演法難以得到；這使數學家們對尋求非線性方程的貝克隆變換產生了很大興趣，自70年代以來已發展了好幾種新的方法。

散射反演方法之所以獲得成功，是因為它所處理的這類方程都可以寫成一對線性方程 ψx=Uψ與ψt=Vψ的可積條件ψxt=ψtx，亦即，這裡U、V是某些方陣。凡是可以作為這樣的關於ψ的線性方程組的可積條件的非線性方程，稱為可積型的。

物理量u(x,t)的非線性演化方程的守恆律可用散度形式的微分方程來描述，其中守恆密度U與對應流量F都是依賴於未知函數 u(x,t)的。從物理學上說，積分就是一個不因時間而變化的物理量。無窮多個守恆律與孤立子解的存在是緊密相關的。很多具有孤立子解的非線性演化方程有無窮多個守恆律，因而也有無窮個守恆的物理量。

孤立子理論的發展，對數學和物理學都具有重要意義。物理學中的一些基本方程如規範場論中的自對偶楊－米爾斯方程、引力場理論中的軸對稱穩態愛因斯坦方程，以及一系列在流體力學、非線性光學、等離子物理中有重要應用的方程，都已應用孤立子理論中的方法找到了許多有興趣的精確解。在數學中，可積性方程的判定，及其代數性質、幾何性質的研究，不僅將大大豐富偏微分方程理論本身，而且將促進一系列與之相關的分支諸如李群、辛流形、代數幾何、函數論等的發展。