辛欽大數定律

數學大數定律之一

辛欽大數定律是一個數學定律,是常用的大數定律之一。由蘇聯數學家亞歷山大·雅科夫列維奇·辛欽(Aleksandr Yakovlevich Khinchin)的姓氏命名。這一定律使算術平均值的法則有了理論依據。

基本內容


辛欽大數定律的基本內容是:設,⋯,⋯是獨立同分佈的隨機變數序列,且它們的期望值存在,記為期望,則對於任意的,有
辛欽大數定律從理論上指出:用算術平均值來近似實際真值是合理的,而在數理統計中,用 算術平均值來估計數學期望就是根據此定律,這一定律使算術平均值的法則有了理論依據。

舉例說明


例如,當我們要測量某個物理量a時,在不變的條件下重複測量n次,得到的結果為,,⋯,,此時我們取算術平均值
作為a的近似值,而且隨著n的增大,與a之間的誤差會越來越小。

辛欽大數定律的特殊情況


當為服從0-1分佈的隨機變數時,辛欽大數定律就是伯努利大數定律。伯努利大數定律的基本內容是:設μn為n重伯努利實驗中事件A發生的次數,p為A在每次實驗中發生的概率,則對任意給定的實數,有
顯然,伯努利大數定律是辛欽大數定律的特殊情況,辛欽大數定律在實際中應用很廣泛。

注意事項


(1)辛欽大數定律並不要求隨機變數序列⋯的方差存在。