FIR濾波器

在進入FIR濾波器前，首先要將信號通過A/D器件進行模數轉換，把模擬信號轉化為數字信號；為了使信號處理能夠不發生失真，信號的採樣速度必須滿足香農採樣定理，一般取信號頻率上限的4-5倍做為採樣頻率；一般可用速度較高的逐次逼進式A/D轉換器，不論採用乘累加方法還是分散式演演算法設計FIR濾波器，濾波器輸出的數據都是一串序列，要使它能直觀地反應出來，還需經過數模轉換，因此由FPGA構成的FIR濾波器的輸出須外接D/A模塊。FPGA有著規整的內部邏輯陣列和豐富的連線資源，特別適合於數字信號處理任務，相對於串列運算為主導的通用DSP晶元來說，其并行性和可擴展性更好，利用FPGA乘累加的快速演演算法，可以設計出高速的FIR數字濾波器。

FIR濾波器的硬體實現有以下幾種方式：

一種是使用單片通用數字濾波器集成電路，這種電路使用簡單，但是由於字長和階數的規格較少，不易完全滿足實際需要。雖然可採用多片擴展來滿足要求，但會增加體積和功耗，因而在實際應用中受到限制。

另一種是使用DSP晶元。DSP晶元有專用的數字信號處理函數可調用，或者根據晶元指令集的結構自行設計代碼實現FIR的功能；由於FIR設計時其係數計算及其量化比較複雜，因此一般都採用MATLAB軟體作為輔助設計，計算出FIR的係數；然後進行代碼設計實現。實現FIR濾波器相對簡單，但是由於程序順序執行，速度受到限制。而且，就是同一公司的不同系統的DSP晶元，其編程指令也會有所不同，開發周期較長。

還有一種是使用可編程邏輯器件，FPGA/CPLD。FPGA有著規則的內部邏輯塊陣列和豐富的連線資源，特別適合用於細粒度和高并行度結構的FIR濾波器的實現，相對於串列運算主導的通用DSP晶元來說，并行性和可擴展性都更好。

有限長單位衝激響應（FIR）濾波器有以下特點：

(1)系統的單位衝激響應h(n)在有限個n值處不為零

(2)系統函數H(z)在|z|>0處收斂，極點全部在z=0處（因果系統）

(3)結構上主要是非遞歸結構，沒有輸出到輸入的反饋，但有些結構中（例如頻率抽樣結構）也包含有反饋的遞歸部分。

設FIR濾波器的單位衝激響應h(n)為一個N點序列，0≤n≤N—1，則濾波器的系統函數為

H(z)=∑h(n)*z^-

就是說，它有（N—1）階極點在z=0處，有（N—1）個零點位於有限z平面的任何位置。

FIR濾波器有以下幾種基本結構：

（7.10）式的系統的差分方程表達式為

y(n)=∑h(m)x(n-m)(7.11）

很明顯，這就是線性時不變系統的卷積和公式，也是x(n)的延時鏈的橫向結構，如圖4-11所示，稱為橫截型結構或卷積型結構，也可稱為直接型結構。將轉置定理用於圖4-11，可得到圖4-12的轉置直接型結構。

圖7.11FIR濾波器的橫截型結構

將H(z)分解成實係數二階因子的乘積形式

（7.12）

其中[N/2]表示取N/2的整數部分。若N為偶數，則N—1為奇數，故係數B2K中有一個為零，這是因為，這時有奇數個根，其中複數根成共軛對必為偶數，必然有奇數個實根。圖7-13畫出N為奇數時，FIR濾波器的級聯結構，其中每一個二階因子用圖4-11的橫型結構。

這種結構的每一節控制一對零點，因而再需要控制傳輸零點時，可以採用它。但是這種結構所需要的係數B2k（I=0，1，2，k，=1，2，．．．，[N/2]）比卷積型的係數h(n)要多，因而所需的乘法次數也比卷積型的要多。

圖9.13FIR濾波器的級聯型結構

在第三章中已說過，把一個有限長序列（長度為N點）的z變換H(z)在單位圓上作N等分抽樣，就得到H(k)，其主值序列就等於h(n)的離散傅里葉變換H(k)。那裡也說到用H(k)表示的H(z)的內插公式為

（7.13）

這個公式就為FIR濾波器提供了另外一種結構，這種結構由兩部分級聯組成。

（7.14）

其中級聯的第一部分為

(7.15）

這是一個FIR子系統，是由N節延時單元構成的梳狀濾波器，令

則有

即Hc(z)在單位圓上有N個等間隔角度的零點，它的頻率響應為

（7.16）

因而幅度響應為

幅角為

其子網路結構及頻率響應幅度見圖7.14。

級聯的第二部分為

它是由N個一階網路並聯組成，而這每一個一階網路都是一個諧振器

（7.17）

令H'k(z)的分母為零，即令

可得到此一階網路在單位圓上有一個極點

圖7.14梳狀濾波器結構及頻率響應幅度

圖7.15FIR濾波器的頻率抽樣型結構

也就是說：此一階網路在頻率為

處響應為無窮大，故等效於諧振頻率為2πk/N的無損耗諧振器。這個諧振器的極點正好與梳狀濾波器的一個零點（I=k）相抵消，從而使這個頻率（ω=2πk/N）上的頻率響應等於H(k)。這樣，N個諧振器的N個極點就和梳狀濾波器的N個零點相互抵消，從而在N個頻率抽樣點上（ω=2πk/N，k=0，1，．．．，N—1）的頻率響應就分別等於N個H(k)值。

N個並聯諧振器與梳狀濾波器級聯后，就得到圖7.15的頻率抽樣結構。

頻率抽樣結構的特點是它的係數H(k)就是濾波器在ω=2πk/N處的響應，因此控制濾波器的頻率響應很方便。但是結構中所乘的係數H(k)及WN都是複數，增加了乘法次數和存儲量，而且所有極點都在單位圓上，由係數WN決定，這樣，當係數量化時，這些極點會移動，有些極點就不能被梳狀濾波器的零點所抵消（零點由延時單元決定，不受量化的影響）。系統就不穩定了。

為了克服係數量化后可能不穩定的缺點，可以將頻率抽樣結構做一點修正，即將所有零、極點都移到單位圓內某一靠近單位圓、半徑為r(r小於或近似等於1)的圓上（r為正實數）。

前一章談到，只要將兩個有限長序列補上一定的零值點，就可以用圓周卷積來代替兩序列的線性卷積。由於時域的圓周卷積，等效到頻域則為離散傅立葉變換的乘積。因而，如果

即將輸入x(n)補上L—N1個零值點，將有限長單位衝激響應h(n)補上L—N2個零值點，只要滿足L>=N1+N2—1，則L點的圓周卷積就能代表線性卷積，即

用DFT表示，則有

Y(k)=X(k)H(k)

因而有

其中

Y(k)=DFT[y(n)]，L點

X(k)=DFT[x(n)]，L點

H(k)=DFT[h(n)]，L點

這樣，我們就可得到圖7.16的快速卷積結構，當N1，N2足夠長時，它比直接計算線性卷積要快得多。這裡計算DFY和IDFT都採用快速傅立葉變換計算方法。

隨著個人音頻的發展，曾經的IIR濾波器處理音頻帶來的音質劣化越來越受市場排斥。原有的IIR雖然具有簡單，算量小，使用方便的特點，但精度並不足夠，所以在專業音頻，很多有FIR4096的音頻演演算法，例如拉脫維亞的Coneq等。

相反的WFIR濾波器

為彌補FIR在低解析度下低頻處理不佳，部分音頻演演算法使用了相反的WFIR濾波器。與FIR相反，WFIR對低頻處理較好，而對高頻無效。而每個工作點算量使用達到FIR的6倍。

FIR用於音頻的優勢

FIR的優勢在於可以無限增加精度（在足夠運算能力的前提下），並且不存在IIR濾波器的相位精度問題，是目前比較高端的解決方案

劣勢

1：因為採用的精度很高，所以對計算資源和內存、功耗的使用更高；

2：FIR在其他領域主要解決高頻問題，在音頻應用常常遇到1Khz以下的信號，FIR至少需要FIR512才能對1K以下產生作用

3：過分運算，因為FIR每個處理單元寬度不能調整，因此在解決低頻問題時，高頻會出現過分運算的情況。

新的解決方案

包括FIR與IIR的混合使用，以及新型研發的音頻專用VIR濾波器。