穩態模型

任何系統在不同的運行條件下，其運行狀態都會有所不同，一般可以分為靜態運行和動態運行兩類。所謂靜態運行，就是指系統已穩定運行在某種工作狀態，其參數保持不變，系統各變數經過一定時間的調整，已經按照某一規律在有序地變化；而動態運行則是指系統運行條件或參數改變后，系統從一個穩態達到另一個穩態的過渡過程。

根據自動控制原理，在靜態條件下，描述系統各變數之間關係的代數方程稱為系統的靜態數學模型，可用來分析系統的靜態特性；而描述系統變數各階導數之間關係的微分方程稱為系統的動態數學模型，用來分析系統的動態性能。

通常，對於線性定常系統一般採用古典控制理論，建立被控對象的微分方程，然後通過拉普拉斯變換，轉換為傳遞函數，進而在頻域進行系統分析和設計。對於時變或非線性系統，因其參數隨時間變化或變數是非線性的，使系統建模、分析和設計較為困難。往往採用穩態工作點附近微偏線性化方法，忽略其參數變化，建立一個近似的線性定常系統數學模型來簡化處理。

在電力傳動系統中，對於他勵直流電動機，因電路簡單且變數少，比較容易建立其數學模型；而對於交流電動機，因具有多變數、非線性和強耦合的特徵，則難以建模與控制。本章以電力傳動系統的穩態等效電路為基礎，建立系統電壓平衡方程、轉矩方程和運動方程，由此建立系統的靜態和動態數學模型。

對於直流調速系統，直流電動機的建模比較簡單，就是直接從直流電動機的穩態等效電路出發，根據電路的基爾霍夫第一定律（KCL）和基爾霍夫第二定律（KVL），列寫電動機繞組的電壓平衡方程、轉速和轉矩方程及其運動方程。

對於交流調速系統，也是由穩態等效電路，在穩態工作點附件微偏線性化來建立其近似動態模型。由於該模型是在穩態工作點上建立的，只能描述該點的工作狀態，因而稱為“穩定工作點模型”或“穩態特性模型”，簡稱“穩態模型”。

本次的計算忽略了泡沫的合併現象並引入下列假設：

1．系統保溫良好，故忽略溫度變化的影響；

2．泡沫群內氣泡的形狀為Kelvin（十四面體）型；

3．不考慮熔體內氣體的擴散引起的泡沫行為的變化；

4．由於吹氣法工藝過程的連續性，故可用穩態數學模型來描述這一過程。

在閉孔多面體泡沫中，Plateau邊界間由液膜和節點相連接。在二維情況下，泡沫群中Plateau邊界的橫截面面積A（x，y）、單位體積內的Plateau邊界長度與體積比λ（x，y）是坐標x和y的函數，φ=λA，φ為液體體積分數，即含液率。在Kelvin（十四面體）型泡沫體內：

λ=5√3/(1.618×π×R)

上式中，R氣泡的等效半徑。

現對任意的一條Plateau邊界內的液體流動進行分析，由質量守恆定律：

а(φu)/аx +а(φv)/аy=0（式1）

上式中u、v分別是液體水平方向x和垂直方向y上的速度。Plateau邊界的橫截面面積採用下列公式計算：

A =（√3-π/2）×r

上式令C=√(√3-π/2)，則A =Cr

對泡沫析液現象的研究一般僅考慮重力和毛細管力作用下的析液過程。然而，對流動泡沫，就不得不考慮氣體運動對析液的影響。二維穩態的情況下，對於任意一條Plateau邊界，忽略慣性力，由力平衡原理：

F+F=0

F+F+F =U

其中，F=-Cγ/2AаA/аx，F =-Cγ/2AаA/аy

上式中γ為熔體的表面張力。氣體阻力則由以下公式計算：

F=-150×μ×（u-u）/A，F=-150×μ×（v-v）/A

上式中，μ表示熔體的黏度，u和v表示氣體速度的水平分量和垂直分量，從而得到式1可轉化為：

除了可以用來分析電機的瞬態行為，還可以用來得到電機的穩態模型，當電機運行在穩態時，電壓、電流和磁鏈等變數都為正弦波。雖然通過其他方法也可以得到電機的穩態模型，而通過動態方程得到穩態模型的方法，強調了電機穩態行為只是電機動態行為的一個特例。在推導過程中，可以體會到坐標變換理論的重要作用，從而對理解穩態模型的推導過程是非常有益的。在推導前，先從物理學的角度簡要地回顧一下，由正弦電壓供電的感應電機具有的特性。當電機的定子繞組由對稱的三相正弦電壓供電時，產生定子電流和磁場。三相定子磁場相互作用，建立起在氣隙中恆速旋轉的合成磁場。合成磁場切割短路的轉子繞組（或連接有外部迴路的轉子繞組），在轉子中，產生感應電壓，進而產生轉子電流。根據Lenz 定律，感應出的轉子電流阻礙磁場變化，產生的電機轉矩，帶動轉子旋轉，轉子旋轉的方向與合成磁場的旋轉方向同向，以降低轉子迴路中磁鏈的變化率。與靜止時相比，在旋轉時，轉子繞組中的磁鏈變化率變小，其中的感應電壓（感應電流）的幅值和頻率均變小。

現考慮正弦電壓供電的感應電機，定子電壓（和電流）角頻率為ω=2πf，其中，f是線電壓頻率。合成旋轉磁場的電角速度為ωrad/s。假設轉子的電角速度為ωrad/s，定義一個同步旋轉坐標系，定子繞組是靜止的，那麼其中的各變數在空間中也是靜止的，頻率為ω。這些變數變換到旋轉坐標系中，旋轉坐標系相對於定子的旋轉速度為W。轉子繞組是旋轉的，其中的各變數（例如：電壓、電流）在空間中也是旋轉的，轉速為ω，頻率為ω-ω，這些變數變換到旋轉坐標系中，旋轉坐標系相對於轉子的旋轉速度為ω-ω。

可以看出，同步旋轉坐標系相對於定子和轉子的電角速度，分別與定子和轉子變數的電角頻率相同。假設定子變數和轉子變數都為正弦量（頻率不同），那麼變換后的qd0分量則是不變的常值。因此，在正弦穩態情況下，qd0域磁鏈的微分為0，注意在最後得到的穩態方程中，出現了頻率為ω的阻抗。

三維穩態模型的最大優點是能反映污染物傳輸的空間連續性，特別是垂直方向的連續性。因為它不需要進行空間離散求數值解，而是通過求解析解得到任意空問點處的污染物的濃度，這是二維動態方程辦不到的（特別是求解垂直方向任意點污染物的濃度）。但由於求三維穩態方程解析解的前提是污染物濃度分佈達到穩定狀況，不隨時間的變化而變化，因此該三維穩態模型不能反映污染物濃度的時間變化過程，這種時間上的非連續性的缺陷，使該模型不能反映受潮汐影響的水域中污染物的輸運過程。

通過二維動態模型與三維穩態模型優缺點比較，兩模型具有很大的互補性，即二維動態模型具有很好的時間連續性，卻誇大了排污口近區的稀釋作用；三維穩態模型能反映近區污染物的垂直分佈規律，但不適合受潮汐影響水域所要求的時間連續性。事實上，污染物在近區和遠區的輸移是相互關聯的。因此，可以將上述兩種模型結合起來，可同時反映污染物輸運的時間連續性和垂直方向的空間連續性，最終達到客觀地再現污染物的遷移擴散過程。此模型的比較分析有利於完善水質模型在實際應用中的應用價值，同時為科學研究提供了科學的依據。

可以從過程設計數據，理論關係式和由過程操作或模擬得來的實驗信息巾推導穩態方程或模型。從設計到理論信息推導模型，一個毛病是有時包括過多的細節因素。另一方面若單獨依靠實驗數據可能得不到，一些重要的關係式，這是因為在車間的工廠規模的設備上進行確定的實驗有困難。在理論和實驗方法間的一個很好的折衷方法是採用模擬技術建立穩態模型。