直線與方程
直線與方程
直線與方程就是直線的方程，在幾何問題的研究中，我們常常直接依據幾何圖形中點，直線，平面間的關係研究幾何圖形的性質。現在我們就現在平面直角坐標系中，建立直線的方程，然後通過方程，研究直線的有關性質，如平行，垂直，兩直線的交點，點到直線的距離等。解析幾何由此成為近代數學的基礎之一。
教學目標:
知識與技能
(1)正確理解直線的傾斜角和斜率的概念．
(2)理解直線的傾斜角的唯一性.
(3)理解直線的斜率的存在性.
(4)斜率公式的推導過程，(5)掌握過兩點的直線的斜率公式．
情感態度與價值觀
(1)通過直線的傾斜角概念的引入學習和直線傾斜角與斜率關係的揭示，培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力．
重點與難點:直線的傾斜角、斜率的概念和公式.
教學用具：計算機
教學方法：啟發、引導、討論.
教學過程：
（一）直線的傾斜角的概念
我們知道,經過兩點有且只有(確定)一條直線.那麼,經過一點P的直線l的位置能確定嗎?如圖,過一點P可以作無數多條直線a,b,c,顯而易見,答案是否定的.這些直線有什麼聯繫呢?
(1)它們都經過點P.(2)它們的‘傾斜程度’不同.怎樣描述這種‘傾斜程度’的不同?
引入直線的傾斜角的概念:
當直線l與x軸相交時,取x軸作為基準,x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時,規定.
問:傾斜角α的取值範圍是什麼?.
當直線l與x軸垂直時,.
因為平面直角坐標系內的每一條直線都有確定的傾斜程度,引入直線的傾斜角之後,我們就可以用傾斜角α來表示平面直角坐標系內的每一條直線的傾斜程度.
a∥b∥c
如圖,直線那麼它們的傾斜角α相等嗎?答案是肯定的.所以一個傾斜角α不能確定一條直線.
確定平面直角坐標系內的一條直線位置的幾何要素:一個點P和一個傾斜角α.
(二)直線的斜率:
一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是
⑴當直線l與x軸平行或重合時,;
⑵當直線l與x軸垂直時,k不存在.
由此可知,一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如,時,;
時,
學習了斜率之後,我們又可以用斜率來表示直線的傾斜程度.
(三)直線的斜率公式:
給定兩點,如何用兩點的坐標來表示直線的斜率?可用計算機作動畫演示:直線的四種情況,並引導學生如何作輔助線,
共同完成斜率公式的推導.(略)
斜率公式
對於上面的斜率公式要注意下面四點：
(1)當時，分母為零，公式無意義；傾斜角,直線與x軸垂直，直線的斜率不存在；
(2)k與的順序無關,即和在公式中的前後次序可以同時交換,但分子與分母不能交換;
(3)斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標求得;
(4)當時,斜率,直線的傾斜角，直線與x軸平行或重合.
(5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標先求斜率而得到．
(四）直線方程的五種形式
| 名稱 | 方程 | 適用範圍 |
| 點斜式 | 不含垂直於x軸的直線 | |
| 斜截式 | 不含垂直於x軸的直線 | |
| 兩點式 | 不含直線(不等於)和直線(不等於) | |
| 截距式 | 不含垂直於坐標軸和過原點的直線 | |
| 一般式 | (不等於0） | 平面直角坐標系內的直線都適用 |
(五)例題:
分析:已知兩點坐標,而且,由斜率公式代入即可求得k的值;
而當時,傾斜角α是鈍角;
而當時,傾斜角α是銳角;
而當時,傾斜角α是
略解:直線AB的斜率,所以它的傾斜角α是銳角;
直線BC的斜率,所以它的傾斜角α是鈍角;
直線CA的斜率,所以它的傾斜角α是銳角.
例2在平面直角坐標系中,畫出經過原點且斜率分別為1,-1,2,及-3的直線a,b,c,l.
分析:要畫出經過原點的直線a,只要再找出a上的另外一點M.而M的坐標可以根據直線a的斜率確定;或者是特殊值,所以也可以以原點為角的頂點,x軸的正半軸為角的一邊,在x軸的上方作的角,再把所作的這一邊反向延長成直線即可.
略解:設直線a上的另外一點M的坐標為,根據斜率公式有
所以
可令則,於是點M的坐標為(1,1).此時過原點和點M(1,1),可作直線a.
同理,可作直線b,c,l.(用計算機作動畫演示畫直線過程)
直線的方程：主要學習直線方程的五種形式，應理解並記憶公式的內容。
特別要搞清各個公式的適用範圍：點斜式和斜截式需要斜率存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示過原點及與坐標軸垂直的直線。
一般式雖然可表示任意直線但它所含的變數多，故在運用時要靈活選擇公式，不丟解不漏解。
基本信息
- 中文名
- 直線與方程
- 外文名
- Straight line and equation
- 定義
- 直線的方程