矩陣范數

把矩陣看作線性運算元，那麼可以由向量范數誘導出矩陣范數，它自動滿足對向量范數的相容性

註：1.上述定義中可以用max代替sup是因為有限維空間的單位閉球是緊的(有限開復蓋定理)，從而上面的連續函數可以取到最值。

2.顯然，單位矩陣的運算元范數為1。

常用的三種p-范數誘導出的矩陣范數是：

1-范數： (列和范數，A每一列元素 絕對值之和的最大值)(其中第一列元素絕對值的和,其餘類似)；

2-范數：的最大奇異值 (歐幾里德范數，譜范數，即A'A 特徵值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H為A的轉置 共軛矩陣)；

∞-范數： (行和范數，A每一行元素絕對值之和的最大值)(其中為第一行元素絕對值的和，其餘類似)；

其它的p-范數則沒有很簡單的表達式。

對於p-范數而言，可以證明，其中p和q是共軛指標。

簡單的情形可以直接驗證：，一般情形則需要利用。

有些矩陣范數不可以由向量范數來誘導，比如常用的Frobenius范數(也叫Euclid范數，簡稱F-范數或者E-范數)： (A全部元素平方和的平方根)。容易驗證F-范數是相容的，但當時F-范數不能由向量范數誘導()。可以證明任一種矩陣范數總有與之相容的向量范數。例如定義是由x作為列的矩陣。由於向量的F-范數就是2-范數，所以F-范數和向量的2-范數相容。

另外還有以下結論：

1、矩陣的譜半徑和范數的關係

定義：A是n階方陣，λi是其特徵值，。則稱特徵值的絕對值的最大值為A的 譜半徑，記為ρ(A)。注意要將譜半徑與譜范數(2-范數)區別開來，譜范數是指A的最大奇異值，即A^H*A最大特徵值的算術平方根。譜半徑是矩陣的函數，但不是矩陣范數。

2、譜半徑和范數的關係是以下幾個結論：

定理1：譜半徑不大於矩陣范數，即。

因為任一特徵對。兩邊取范數並利用相容性即得結果。

定理2：對於任何方陣A以及任意正數e，存在一種矩陣范數使得

定理3(Gelfand定理)：。

利用上述性質可以推出以下兩個常用的推論：

推論1：矩陣序列… 收斂於零的充要條件是。

推論2：級數 .. 收斂到的充要條件是。