譜半徑

令λ1, ..., λn是矩陣A ∈ Cⁿ×ⁿ中的特徵值，則其譜半徑 ρ(A) is 定義為：

A的條件數可以用譜半徑表示，公式為ρ(A)ρ(A⁻¹)。

譜半徑是矩陣所有范數的一種下確界（infimum）。另一方面， ρ(A)≤||A||對每一個矩陣范數||·||都成立，Gelfand公式指出

。不過，針對任意向量v∈Cⁿ，譜半徑不一定會滿足||Av||≤ρ(A)||v||。若要說明原因，可以令r＞1為任意數，考慮矩陣。Cᵣ 的特徵多項式是λ²-1，因此其特徵值為±1，且ρ(Cᵣ)=1。不過Cᵣe₁=re₂，因此||Cᵣe₁||=r＞1=ρ(Cᵣ)||e₁||，其中||·||是Cⁿ上的任何ιᴾ范數。至於可以當k→∞時，讓的原因是C²ᵣ=I，因此當k→∞時，使||Av||≤ρ(A)||v||針對所有v∈Cⁿ成立的條件是A為埃爾米特矩陣及||·||為歐幾里得范數。

有限圖的譜半徑定義為其鄰接矩陣的譜半徑。

此一定義可以擴散到無限圖，但是其每個頂點都只連接有限個頂點（存在一實數C使得每一個頂點的度都小於C）。此情形下，針對圖G可定義：

令γ是G的鄰接運算元：

G的譜半徑定義為有界線性運算元γ的譜半徑。

以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界：

命題：令A ∈ Cⁿ×ⁿ，其譜半徑為ρ(A)，以及相容（Consistent）矩陣范數 ||⋅||。則針對每一個整數k≥1：

證明

令(v, λ)為矩陣A的特徵值-特徵向量對。利用矩陣范數的次可乘性（sub-multiplicative property），可得：

因為v ≠ 0，可得

|λ|ᵏ≤||Aᵏ||

因此

有關n個頂點，m個邊的圖，有許多的譜半徑的上界公式。例如，若

其中3≤k≤n為整數，則：

譜半徑和矩陣乘冪數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立：

定理：令A ∈ Cⁿ×ⁿ，其譜半徑ρ(A)。則ρ(A) < 1當且僅當

另一方面，若ρ(A) > 1，上述敘述針對Cⁿ×ⁿ的任何矩陣范數都有效。

假設問題中的極限值為零，可以證明ρ(A) < 1。令(v, λ)為A的特徵值和特徵向量對。因為Aᵏv = λᵏv可得：

因為假設v ≠ 0，會得到

表示|λ| < 1。因為這對任何一個特徵值都會成立，因此可知ρ(A) < 1。

接下來假設A的譜半徑小於1。根據若爾當標準型定理，可以知道針對所有的A ∈ C，存在V, J ∈ C以及非奇異的V和J分塊對角矩陣使得：

A=VJV⁻¹而

其中，因此可得

Aᵏ=VJᵏV⁻¹

因為J是分塊對角矩陣

而mᵢ×mᵢ若爾當方塊矩陣k次方可以得到，針對k≥mᵢ-1：

因此，若ρ(A)<1，則針對所有的i，|λᵢ|<1都會成立。因此針對所有的i，可得：

這也表示

因此

另一方面，若ρ(A)>1，當k增加時，在J中至少有一個元素無法維持有界，因此證明了定理的第二部分。