化圓為方問題

化圓為方問題

化圓為方問題（problem of quadrature of circle）是二千四百多年前古希臘人提出的三大幾何作圖問題之一，即求作一個正方形，使其面積等於已知圓的面積。其難度在於作圖使用工具的限制。古希臘人要求幾何作圖只許使用直尺（沒有刻度，只能作直線的尺）和圓規。最早研究這問題的是安納薩戈拉斯，他因「不敬神」的罪名被捕入獄，在獄中潛心研究化圓為方問題，可惜他的結果失傳了。以後著名的研究者更有希波克拉底、安提豐、希皮亞斯等人。

標尺作圖問題曾吸引許多人研究，但無一成功。化圓為方問題，實際上就是用直尺圓規作出線段π的問題。1882年法國數學家林 德曼（1852－1939）證明了π是超越數，同時證明了圓為方問題是標尺作圖不可能的問題。因為十九世紀有人證明了若設任意給定長度單位，則標尺可作的線段長必為代數數。而化圓為方問題相當於求作長為√π的線段，但√π並非代數數，故此線段不可作。

公元前5世紀，古希臘哲學家安那薩哥拉斯因為發現太陽是個大火球，而不是阿波羅神，犯有“褻瀆神靈罪”而被投入監獄。在法庭上，安那薩哥拉斯申訴道：“哪有什麼太陽神阿波羅啊！那個光耀奪目的大球，只不過是一塊火熱的石頭，大概有伯羅奔尼撒半島那麼大；再說，那個夜晚發出清光，晶瑩透亮象一面大鏡子的月亮，它本身並不發光，全是靠了太陽的照射，它才有了光亮。”結果他被判處死刑。

在等待執行的日子了，夜晚，安那薩哥拉斯睡不著。圓圓的月亮透過正方形的鐵窗照進牢房，他對方鐵窗和圓月亮產生了興趣。他不斷變換觀察的位置，一會兒看見圓比正方形大，一會兒看見正方形比圓大。最後他說：“好了，就算兩個圖形面積一樣大好了。”

安那薩哥拉斯把“求作一個正方形，使它的面積等於已知的圓面積”作為一個尺規作圖問題來研究。起初他認為這個問題很容易解決，誰料想他把所有的時間都用上，也一無所獲。

經過好朋友、政治家伯里克利的多方營救，安那薩哥拉斯獲釋出獄。他把自己在監獄中想到的問題公布出來，許多數學家對這個問題很感興趣，都想解決，可是一個也沒有成功。這就是著名的“化圓為方”問題。

2000年前的西坡拉蒂證明了新月形面積，即左圖：

面積（半圓AEC）=面積(扇形AFCO)。他的方法即簡單又高明，這又使得人們充滿完成化圓為方問題的希望。直到林德曼證明了圓周率是超越數以後，才知道是不可能的。

二千年間，儘管對化圓為方問題上的研究 沒有成功，但卻發現了一些特殊曲線。希臘安提豐（公元前430）為解決此問題而提出的「窮竭法」，是近代極限論的雛形。大意是指先作圓內接正方形（或正6邊形），然後每次 將邊數加倍，得內接8、16、32、…邊形，他相信「最後」的正多邊形必與圓周重合，這樣就可以化圓為方了。雖然結論是錯誤的，但卻提供了求圓面積的近似方法，成為阿基米 德計算圓周率方法的先導，與中國劉徽的割圓術不謀而合，對窮竭法等科學方法的建立產生 直接影響。

其實，若不受標尺的限制，化圓為方問題並非難事，歐洲文藝復興時代的大師，義大利數學家達芬奇（1452－1519）用已知圓為底，圓半徑的1/2為高的圓柱，在平面上滾動一周，所得的矩形，其面積恰為圓的面積，如圖。

所以所得矩形的面積=r/2．2πr=πrr ，然後再將矩形化為等積的正方形即可。