窮竭法

古希臘的安提芬(antiphon )最早表述了窮竭法，他在研究“化圓為方”問題時，提出了使用圓內接正多邊形面積“窮竭”圓面積的思想。

後來，古希臘數學家歐多克斯(Eudoxus of Cnidus,)改進了安提芬的窮竭法。將其定義為：“在一個量中減去比其一半還大的量，不斷重複這個過程，可以使剩下的量變得任意小”。

古希臘數學家阿基米德進一步完善了“窮竭法”，並將其廣泛應用於求解曲面面積和旋轉體體積。阿基米德最早使用窮竭法進行了積分運算，是微積分學的先驅。窮竭法被後人稱為阿基米德原理。

例如，計算與x軸在之間圍成的曲邊三角形的面積，把底邊分成n等分，分點分別是然後在每個分點處作底邊的垂線，這樣曲邊三角形被分成了n個窄條，對每個窄條，近似用矩形條替代。每個矩形的底寬,高,把這些矩形條加起來，得到S的近似Sn:

對每個n,都可以算出相應的Sn的值，一方面，隨著n的增大Sn的值，來越接近S.但另一方面，所得的Sn始終都是S的近似值，為了得到S的精確值，使n無限制的增大，從幾何上看，面積Sn的那個多邊形越來越貼近曲邊三角形，即阿基米德所說的窮竭曲邊三角形，從數值上看，Sn無限接近一個確定的數，這個數就是曲邊三角形的面積S，這個數等於,當年，阿基米德就是通過這個方法求得結果.

用窮竭法計算曲邊形的面積時，對不同的曲邊形，採用不同的直邊形去逼近。並且計算的過程中採用了特殊的技巧，因而不具有一般性，無法向一般的曲邊形推廣.