垂線公理
適用於數學領域的定理
直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短（簡稱“垂線段最短”）。
如垂線段圖，已知於點C，則。
垂線公理
在同一平面內，過一點（直線上或直線外）有且只有一條直線與已知直線垂直。
垂線公理
如垂直圖，過直線AB上一點C作，且CP是唯一的；同理，過直線AB外一點P作，且PC是唯一的。
當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，即兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一直線的垂線，交點叫垂足。
垂線段是一個圖形，點到直線的距離是一個數量。
已知直線AB和平面內一點C，過C作AB的垂線，求證這樣的直線有且只有一條。
證明：當C在直線上時，作，，不妨設CD在CD'的左邊，則∠D'CB在∠DCB的內部。
而
，小的等於大的，這是不可能的事情。
∴假設不成立，即當C在AB上時，有且只有一條直線CD與AB垂直。
當C在直線外時，作，垂足分別為D、D'。
則
根據同旁內角互補，兩直線平行可知，，這和CD與CD'交於C矛盾。
∴假設不成立，即當C在直線外時，有且只有一條直線CD與AB垂直。
這樣就證明了，無論C是否AB上，命題都成立。
已知直線AB和直線外一點C。作，垂足為D。連接C與AB上異於D的任意一點E，求證。
證明：由定理的第一部分可知CD是唯一的垂線段，那麼C、D、E就構成了以∠CDE為直角的Rt△CDE。
由三角形內角和定理可知，△CDE內沒有比∠CDE更大的角
大角對大邊，因此
由E的任意性可知對於任一異於D的E，都有，即垂線段最短。
