應用數學

應用數學包含兩個詞：”應用”和”數學”。大體而言，應用數學就包括兩個部分，一部分就是與應用有關的數學，這是傳統數學的一支，我們可稱之為”可應用的數學”。另外一部分是數學的應用，就是以數學為工具，探討解決科學、工程學和社會學方面的問題，這是超越傳統數學的範圍。應用數學在21世紀，主要是應用於兩個領域，一個是計算機，隨著計算機的飛速發展，需要一大批懂數學的軟體工程師做相應的資料庫的開發，另一個是經濟學，經濟學有很多都需要用非常專業的數學進行分析，應用數學有很多相關課程本身設計就是以經濟學實例為基礎的。

數學是人類活動中的一個項目，即使全是由人腦產生的最純粹的數學，也與自然界的規律相關聯，遲早會對自然規律的掌握或其他方面有用處的。我們將已可應用，或者即將就可應用的數學稱之為可應用的數學。以現今的發展而言，大概像微分方程、概率統計、計算數學、計算機數學，和運籌學等都算在可應用的數學範圍內。另一類則”數學的應用”。物理學家、航空工程師、地質學家、生物學家、經濟學家等，他們為了解決各學科及工程上的問題，需要用數學用為工具。因此，他們有時要把已經發展得很完善的數學搬過來用，有時候卻不得不自己創造性地發展新的數學方法，來處理他們所遇到的獨特問題。這就是數學的應用。他們往往要求不太高的嚴謹，常需要配合觀察實驗結果及經驗所賦予的直覺來發展數學方法。所以除了相當水平的數學修養外，應用數學家們對應用主題的學科還必須有相當深度了解。

傳統的數學分為”純數學”與”可應用的數學”，二者的差別只是程度上的不同，即使最純粹的數學在將來也會有應用的可能。它們的共同點是都只關注問題的數學內容，也只用數學標準來衡量研究的成果。“數學的應用”則以科學或工程內容為主導，數學只是工具，所以研究成就的衡量標準也大大不同。

20世紀以前沒有”應用數學”這一名詞。大數學家如高斯、歐拉、柯西等都是既搞純數學，又搞應用數學。比如，函數的發展基本上是為了解決物理學所引發的拉普拉斯方程。純粹的邏輯思維與自然現象的解釋探討是并行發展的。一直到二次大戰前，高等數學的應用絕大部分與物理學有關。

在二次大戰前後，由於航空工業的發展以及飛機在戰爭中的重要性，高等數學開始大量用在力學及其它工程方面，促成了應用力學與應用數學的發展。在40、50年代，應用數學的主要研討內容是力學，大多數應用數學家的背景也不是數學，所以”應用”的性質是很強的。60年代以後情況就有些改變。一方面高等數學的應用範圍愈來愈廣，不但物理學、工程、化學、天文、地理、生物、醫學在用高等數學，甚至經濟學、語言學也開始用相當多的高等數學，應用數學因此得到發展。

應用數學得以發展的另外一個原因是數學的發展越來越極端抽象化，漸漸地只有數學家自己以及狹門同行才能理解他們在搞什麼。在這種情形下，需要用數學的理論科學家與工程師們就只好自力更生，不依賴純數學家，而自己搞起數學來了。他們所搞的數學與純數學最大的區別就是與實際的結合：自然的實際，社會的實際。自然現象與社會發展提出的數學問題要設法解決；數學問題解決以後，其探討結果要再回到自然界與社會中去，應用數學就這樣產生了。

中國最著名的數學典籍《九章算術》就是246個實際應用問題的彙集，注重實際問題，是中國古代數學的優良傳統。體力與腦力勞動分工之後，科學發展的新階段：創造了純粹而嚴密的科學體系，卻遠離了現實生活。

從此以後，數學就從兩個方向發展著。一方面是純粹數學。例如哥德巴赫猜想、費馬大定理等世界名題，成為世人關注的焦點，一旦有所突破，可被視為人類思想史上的大事。至於非歐幾何、拓撲學、抽象群論等等，雖說開始時看不到和實際的直接關係，但是只要是好的數學知識，往往在若干年後會發現有實際應用。陳省身20世紀40年代研究的纖維叢理論，到了20世紀70年代，竟成為物理學上由楊振寧等發現的規範場的數學工具，這種世界的統一性，令人不可思議。

另一方面，應用數學在不斷地迅猛發展。現實世界畢竟是數學發展的源泉。從17世紀以來，社會發展和生產需要一直是數學發展的主要推動力。牛頓從物理學需要發明了微積分，反過來，開普勒用數學方法發現了海王星；蒸汽機推動了運動學和熱力學的發展，促使數學分析學走向新的高峰；電磁學的基本規律是用微分方程寫的。時至20世紀，噴氣機和航天器的製造和導航，CT掃描的醫療設備，組織大規模戰爭的運籌方案，本質上都是數學技術。

在現代，數學不僅作為一個解決問題的工具，而且已成為時代文化的一個重要組成部分，一些數學概念、語言已滲透到日常生活中去，一些數學原理已成為人們必備知識，如面積、體積、對稱、百分數、平均數、比例、角度等成為社會生活中常見名詞；象人口增長率、生產統計圖、股票趨勢圖等不斷出現在報刊、電視等大眾信息傳播媒介中；而象儲蓄、債券、保險、面積、體積計算（估算）、購物決策等成為人們難以迴避的現實問題。那麼將來的公民——現在的學生，必須具備一個解決實際應用問題的數學素養，這一切都呼喚應用問題呈現於數學教育教學過程中。

中國古代數學一向有實用的傳統，數學教學中重視數學應用也並非新問題。在小學里，數學應用問題是教學的重點和難點，從未有人持異議。到了初中，學了平面幾何，數學品味趨於抽象，邏輯推理不斷加強，數學應用漸有淡出之勢。不過，數學應用並未絕跡，諸如濃度問題、行程問題等仍有出現，平行四邊形與鐵柵門的關係等也總要提及。只是被某種錯誤觀念的誤導，大家不太重視罷了。

一到高中，情況變得越發嚴重。數學一直是中學的主幹課程，為什麼要學那麼多的數學？一般認為，數學是“能力篩子”、“思想的體操”，無非是“升學需要”、“思想健身”而已。至於有什麼用，對不起，不必問。由於大躍進年代，文革時期“過火地”聯繫實際，破壞了數學知識的系統性，一旦撥亂反正，便專註於純粹數學的要求。一個時期以來，主張數學應用被稱為“實用主義”、“短視行為”，似乎數學離現實生活越遠越好。“掐頭去尾燒中段”式的純數學推理成為唯一的選擇。因此，關於數學應用問題的設計與教學成為迫在眉睫的任務。

現代高能物理到了量子物理以後，有很多根本無法做實驗，在家用紙筆來算，這跟數學家想象的差不了多遠，所以說數學在物理上有著不可思議的力量。 ——丘成桐

數學受到高度尊崇的另一個原因在於：恰恰是數學，給精密的自然科學提供了無可置疑的可靠保證，沒有數學，它們無法達到這樣的可靠程度。 ——愛因斯坦

數學對觀察自然做出重要的貢獻，它解釋了規律結構中簡單的原始元素，而天體就是用這些原始元素建立起來的。——開普勒

數學科學呈現出一個最輝煌的例子，表明不用藉助實驗，純粹的推理能成功地擴大人們的認知領域。 ——康德

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學。——華羅庚

數學表達上準確簡潔、邏輯上抽象普適、形式上靈活多變，是宇宙交際的理想工具。——周海中

一門科學，只有當它成功地運用數學時，才能達到真正完善的地步。——馬克思

一個國家的科學水平可以用它消耗的數學來度量。——拉奧