微分係數

設是定義在區間上的函數，如果a是區間內的一點，那麼是定義在區間內除a以外的點上的函數，此時如果存在極限：

那麼就稱在a點處可微(differentiable)，或者稱在處可微，並稱此極限為函數在a 點處的微分係數(differentiable coefficient)，記為：

當函數 在所屬區間內的任意點x均可微時，則稱函數 可微，或稱函數 關於 x可微。此時 也是定義在區間 上的關於x的函數，稱 為函數 的 導函數(derived function derivative)，求函數 的導函數，稱為對函數 進行微分，或函數 關於x進行微分。

在(1)式中如果用x替換a，用x+h替換x，則

當 時，用 表示。有時也稱 為 微商(differentiable quotient)。令，則

定理1如果函數在x點可微，那麼函數在x點連續。

推論定義在某區間上的可微函數在該區間上是連續函數。

當自變數x增加 成為時，相應地函數y也增加 成為，因此把和 分別稱為x和y的 增量(increment)。

在x點可微時，設

則 是滿足h≠0的h的函數，並且，雖然 是定義在h≠0的h的函數，但當h=0時，若定義，則對所有的h，

成立，如果令函數，那麼

一般地，若，則稱函數 為 無窮小量，當 是無窮小量時，無窮小量 用符號 表示，即用小寫字母o來代表，在不關心函數 的具體形式時，用符號 很方便。如果使用這個符號，那麼上式為：

上式(3)可寫為：

如果用a替換x，用x替換x+h，那麼

對在a點處可微的函數，把由線性方程式

確定的直線：

稱為定義在圖像 上 點處函數 的 切線(tangentline)。在高中數學中，也稱它為在 點處圖像 的切線，其方程式是(7)，但在我們這裡，把方程式(7)所確定的直線定義為在 點處 的切線。

表示函數 的微分係數的符號除 之外，還有 等。

微分係數的定義 中，當a是 的定義域 的左端點，例如 時，當x從右向a接近時的極限記作，所以，

一般地，即使a是 的內點，如果極限 存在，則稱此極限為 在a點處的 右微分係數(right differential coefficient)。用 表示：

並且這時，稱 在a點處向右可微，或 右可微(right differentiable)。

又，設，則

同理可定義左微分係數。

例如，如果 是定義在區間 上的可微函數，則，又，如果定義在區間上的函數在的內點a處左可微和右可微，且，那麼在a點處可微，並且，。