取模運算
取模運算
取模運算（“Modulo Operation”）和取余運算（“Complementation ”）兩個概念有重疊的部分但又不完全一致。主要的區別在於對負整數進行除法運算時操作不同。取模主要是用於計算機術語中。取余則更多是數學概念。模運算在數論和程序設計中都有著廣泛的應用，從奇偶數的判別到素數的判別，從模冪運算到最大公約數的求法，從孫子問題到凱撒密碼問題，無不充斥著模運算的身影。雖然很多數論教材上對模運算都有一定的介紹，但多數都是以純理論為主，對於模運算在程序設計中的應用涉及不多。
對於整型數a，b來說，取模運算或者求余運算的方法都是：
1.求 整數商： c = a/b;
2.計算模或者餘數： r = a - c*b.
求模運算和求余運算在第一步不同: 取余運算在取c的值時，向0 方向舍入(fix()函數)；而取模運算在計算c的值時，向負無窮方向舍入(floor()函數)。
例如計算：-7 Mod 4
那麼：a = -7；b = 4；
第一步：求整數商c，如進行求模運算c = -2（向負無窮方向舍入），求余c = -1（向0方向舍入）；
第二步：計算模和餘數的公式相同，但因c的值不同，求模時r = 1，求余時r = -3。
歸納：當a和b符號一致時，求模運算和求余運算所得的c的值一致，因此結果一致。
當符號不一致時，結果不一樣。求模運算結果的符號和b一致，求余運算結果的符號和a一致。
另外各個環境下％運算符的含義不同，比如c/c++，java 為取余，而python則為取模。
補充：
7 mod 4 = 3（商 = 1 或 2，1<2，取商=1）
-7 mod 4 = 1（商 = -1 或 -2，-2<-1，取商=-2）
7 mod -4 = -1（商 = -1或-2，-2<-1，取商=-2）
-7 mod -4 = -3（商 = 1或2，1<2，取商=1）
這裡模是4，取模其實全稱應該是取模數的餘數，或取模余。
增加補充內容（以上五行）后，被修改商值，但是括弧內容不變，出現奇怪矛盾。
在python下 % 運算符代表取模，如要修改，請先用python做
-7 % 4
運算，或其它語言做取模運算驗證，理解后再動手。
給定一個正整數p，任意一個整數n，一定存在等式：
n = kp + r ；
其中 k、r 是整數，且 0 ≤ r < p，則稱 k 為 n 除以 p 的商，r 為 n 除以 p 的餘數。
對於正整數 p 和整數 a,b，定義如下運算：
取模運算：a % p（或a mod p），表示a除以p的餘數。
模p加法： ，其結果是a+b算術和除以p的餘數。
模p減法： ，其結果是a-b算術差除以p的餘數。
模p乘法： ，其結果是 a * b算術乘法除以p的餘數。
說明：
1. 同餘式：正整數a，b對p取模，它們的餘數相同，記做 或者a ≡ b (mod p)。
2. n % p 得到結果的正負由被除數n決定，與p無關。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。
1.若p|(a-b)，則a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)
2.(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
3.對稱性：a≡b (% p)等價於b≡a (% p)
4.傳遞性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，則a≡c (% p)
模運算與基本四則運算有些相似，但是除法例外。其規則如下：
1.(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
2.(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
3.(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
4.a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）
• 結合律：
• ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）
• 交換律：
• (a + b) % p = (b+a) % p （7）
(a * b) % p = (b * a) % p （8）
• 分配律：
• (a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9）
• ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）
• 若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（11）
• 若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）
• 若a≡b (% p)，c≡d (% p)，則 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，
• (a * c) ≡ (b * d) (%p)； （13）
奇偶數的判別是模運算最基本的應用，也非常簡單。
已知一個整數n對2取模，如果餘數為0，則表示n為偶數，否則n為奇數。
C++實現功能函數：
一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數（或素數）。例如 2，3，5，7 是質數，而 4，6，8，9 則不是，後者稱為合成數或合數。
判斷某個自然數是否是素數最常用的方法就是試除法——用不比該自然數的平方根大的正整數去除這個自然數，若該自然數能被整除，則說明其非素數。
C++實現功能函數：
求最大公約數最常見的方法是歐幾里德演演算法（又稱輾轉相除法），其計算原理依賴於定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
證明：
a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
假設d是a,b的一個公約數，則有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公約數
假設d 是(b,a mod b)的公約數，則d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證。
C++實現功能函數：
水仙花數是指一個 n 位正整數 ( n≥3 )，它的每個位上的數字的 n 次冪之和等於它本身。（例如：1^3 + 5^3+ 3^3 = 153）。
水仙花數只是自冪數的一種，嚴格來說三位數的3次冪數才稱為水仙花數。
附：其他位數的自冪數名字
一位自冪數：獨身數
兩位自冪數：沒有
三位自冪數：水仙花數
四位自冪數：四葉玫瑰數
五位自冪數：五角星數
六位自冪數：六合數
七位自冪數：北斗七星數
八位自冪數：八仙數
九位自冪數：九九重陽數
十位自冪數：十全十美數
假設：取1至1000內的水仙花數，那麼其實只有當i>99時才成立，因為水仙花數是由3位數組成。
如果要判斷一個三位數是否為水仙花數
根據運算規則，水仙花數是三位數的每個位的數的3次冪，例如999，需要取9,9,9三個數並且三數相乘的合再判斷。
程序循環方式：
需要用取餘數的整數的方式去完成判斷條件：分別從三位數中利用取余去取百位、十位、個位數，加以判斷
var a,b,c,d
for(i=1;i<1000;i++){
a = parseInt(i%10); //這一步取到了個位數
b = parseInt(i/10%10); //這一步取到了十位數
c= parseInt(i/100%10); //這一步取到了百位數
d = a*a*a+b*b*b+c*c*c;//水仙花數
if(d==i&&d>99){//比較判斷，且是三位數。
alert(d+"是水仙花數") //輸出水仙花數。
}
}
利用模運算的運算規則，我們可以使某些計算得到簡化。
例如，我們想知道3333^5555的末位是什麼。很明顯不可能直接把3333^5555的結果計算出來，那樣太大了。但我們想要確定的是3333^5555（%10），所以問題就簡化了。
根據運算規則（4）a^b % p = ((a % p)^b) % p ，我們知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。
根據運算規則（3） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由於5555 = 4 * 1388 + 3，我們得到3^5555（%10）=（3^(4*1388) * 3^3）（%10）=（（3^(4*1388)（%10）* 3^3（%10））（%10）
=（（3^(4*1388)（%10）* 7）（%10）。
根據歐拉定理可以得到 3 ^ (4 * k) % 10 = 1, 所以（（3^(4*1388)（%10）* 7）（%10）= (1 * 7) (% 10) = 7
計算完畢。
利用這些規則我們可以有效地計算X^N(% P)。簡單的演演算法是將result初始化為1，然後重複將result乘以X，每次乘法之後應用％運算符（這樣使得result的值變小，以免溢出），執行N次相乘后，result就是我們要找的答案。
這樣對於較小的N值來說，實現是合理的，但是當N的值很大時，需要計算很長時間，是不切實際的。下面的結論可以得到一種更好的演演算法。
如果N是偶數，那麼X^N =（X*X）^[N/2]；
如果N是奇數，那麼X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]；
其中[N]是指小於或等於N的最大整數。
C++實現功能函數：
在我國古代算書《孫子算經》中有這樣一個問題：
“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”意思是，“一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2.求適合這個條件的最小數。”
這個問題稱為“孫子問題”.關於孫子問題的一般解法，國際上稱為“中國剩餘定理”.
我國古代學者早就研究過這個問題。例如我國明朝數學家程大位在他著的《演演算法統宗》（1593年）中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法：
三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。
"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，當所得的數比105大時，就105、105地往下減，使之小於105；這相當於用105去除，求出餘數。
這四句口訣暗示的意思是：當除數分別是3、5、7時，用70乘以用3除的餘數，用21乘以用5除的餘數，用15乘以用7除的餘數，然後把這三個乘積相加。加得的結果如果比105大，就除以105，所得的餘數就是滿足題目要求的最小正整數解。
根據剩餘定理，我把此種解法推廣到有n(n為自然數）個除數對應n個餘數，求最小被除數的情況。輸入n個除數（除數不能互相整除）和對應的餘數，計算機將輸出最小被除數。
C++實現功能函數：
凱撒密碼（caeser）是羅馬擴張時期朱利斯·凱撒（Julius Caesar）創造的，用於加密通過信使傳遞的作戰命令。
它將字母表中的字母移動一定位置而實現加密。注意26個字母循環使用，z的後面可以堪稱是a。
例如，當密匙為k = 3，即向後移動3位時，若明文為”How are you!”，則密文為”Krz duh btx!”。
凱撒密碼的加密演演算法極其簡單。其加密過程如下：
在這裡，我們做此約定：明文記為m，密文記為c，加密變換記為E(key1,m)（其中key1為密鑰），
解密變換記為D(key2,m)（key2為解密密鑰）（在這裡key1=key2,不妨記為key）。
凱撒密碼的加密過程可記為如下一個變換：c≡m+key (mod n） （其中n為基本字元個數）
同樣，解密過程可表示為：m≡c+key (mod n） （其中n為基本字元個數）
C++實現功能函數：
模運算及其簡單應用就先講到這了，其實模運算在數學及計算機領域的應用非常廣泛，我這這裡搜集整理了一些最最基本的情形，希望能夠起到一個拋磚引玉的作用，讓更多的人關注模運算，並及其應用到更廣闊的領域中。
基本信息
- 中文名
- 取模運算
- 外文名
- （“Modulo Operation”）
- 計算公式
- n = kp + r
- 求整數商
- c = a/b
- 計算模
- r = a - c*b