SIR模型

傳染病模型有著悠久的歷史，一般認為始於1760年Daniel Bernoulli在他的一篇論文中對接種預防天花的研究。真正的確定性傳染病數學模型研究的前進步伐早在20世紀初就開始了，Hamer、Ross等人在建立傳染病數學模型的研究中做出了大量的工作，直到1927年Kermack與McKendrick在研究流行於倫敦的黑死病時提出了的SIR倉室模型，並於1932年繼而建立了SIS模型，在對這些模型的研究基礎上提出了傳染病動力學中的閾值理論。Kermack與McKendrick的SIR模型是傳染病模型中最經典、最基本的模型，為傳染病動力學的研究做出了奠基性的貢獻。

模型中把傳染病流行範圍內的人群分成三類：S類，易感者（Susceptible），指未得病者，但缺乏免疫能力，與感病者接觸后容易受到感染；I類，感病者（Infective），指染上傳染病的人，它可以傳播給S類成員；R類，移出者（Removal），指被隔離，或因病癒而具有免疫力的人。

在傳染病動力學中，主要沿用的由Kermack與McKendrick在1927年用動力學 的方法建立了SIR傳染病模型。SIR模型仍被廣泛地使用和不斷發展。SIR模型將總人口分為以下三類：易感者(susceptibles)，其數量記為s(t)，表示t 時刻未染病但有可能被該類疾病傳染的人數；染病者(infectives)，其數量記為i(t)，表示t時刻已被感染成為病人而且具有傳染力的人數；恢復者(recovered)，其數量記為r(t)，表示t時刻已從染病者中移出的人數。設總人口為N(t)，則有N(t)=s(t)+i(t)+r(t)。

SIR模型的建立基於以下三個假設：

⑴不考慮人口的出生、死亡、流動等種群動力因素。人口始終保持一個常數，即N(t)≡K。

⑵一個病人一旦與易感者接觸就必然具有一定的傳染力。假設 t 時刻單位時間內，一個病人能傳染的易感者數目與此環境內易感者總數s(t)成正比，比例係數為β，從而在t時刻單位時間內被所有病人傳染的人數為βs(t)i(t)。

⑶ t 時刻，單位時間內從染病者中移出的人數與病人數量成正比，比例係數為γ，單位時間內移出者的數量為γi(t)。

s(t)、i(t)的求解十分困難，可利用相軌線分析討論解i(t)、s(t)的性質，將單位化（即佔總人數的比例），則變化曲線如圖3所示，其中箭頭表示了隨著時間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向。

基於微分方程組求解的SIR模型可以根據已有數據比較準確地擬合曲線，並利用相軌線分析得出使傳染病不蔓延的措施，理論依據充分。

但是應注意到，模型對人群的分類不夠細緻，沒有明確考慮隔離的因素。而現實中對疑似病人的隔離是控制疫情傳播的有效手段。模型沒有引入反饋機制，在預測過程中，單純依據已有數據預測未來較長一段時間的數據，必然會使準確度降低。此外，微分方程組求解較為困難，且對初值比較敏感，這對模型的穩健性是一個很大的影響。