數學認知結構

現代認知心理學研究告訴我們，學生學習數學的過程實際上是一個數學認知的過程，在這個過程中學生在老師的指導下把教材知識結構轉化成自己的數學認知結構。“所謂①簡單地講，數學認知結構就是學生頭腦里獲得的數學知識結構，只不過是一種經過學生主觀改造后的數學知識結構，它是數學知識結構與學生心理結構相互作用的產物，其內容包括數學知識和這些數學知識在頭腦里的組織方式與特徵。如有關分數的意義及四則運算的認知結構，一方面要反映分數的概念和性質、分數四則運算的意義及運演演算法則等知識內容，另一方面更要體現學生在頭腦里對這些知識內容的接收、編碼、儲存、提取等一系列活動的組織方式。學生的數學認知結構是在後天的學習活動中逐步形成和發展起來的，由於不同主體對知識內容的理解和組織方式不同，所以數學認知結構是有個體差異的。

數學認知結構和數學知識結構是兩個不同的概念，它們之間既有密切的內在聯繫，又在嚴格的區別。兩者的聯繫主要反映為學生的數學認知結構是由教材中的數學知識結構轉化而來的，數學知識結構是數學認知結構賴以形成的物質基礎和客觀依據、兩者的區別主要表現在以下幾個方面：

l．概念的內涵不同。數學知識結構是由數學概念和命題構成的數學知識體系，它以最簡約、最概括的方式反映了人類對

什麼是認知結構變數？“認知結構變數是指學習者在某一特定教材領域內的現有知識的實質特徵和組織特徵”③。”由此不難理解、數學認知結構變數就是指學生頭腦里的數學知識在內容和組織方面的特徵。根據奧蘇伯爾的研究，學生原有認知結構對新的數學知識學習有重大影響的變數主要是以下三個方面。

1．原有認知結構中對新的學習起固定作用的觀念的可利用性。這是對數學學習影響特別大的一個認知結構變數。在新的數學知識學習中，學生原有認知結構中是否有用來同化新知識的適當觀念，是決定數學學習活動能不能順利進行的關鍵因素。這是因為學生構建新的數學認知結構總是以他們原有認和結構中的有關內容為基礎的，如果他們原有認知結構里缺乏適當的觀念作為新的學習的固定點，新內容輸人頭腦里之後就不會有柑應的舊知識與之發生相互作用，沒有新舊內容的相互作用就不可能有原有數學認知結構的擴充和新的數學認知結構的建立。如學生原有認知結構里如果沒有分數的基本性質、通分和同分母分數加減法計演演算法則等觀念起固定作用，他們就根本不可能形成有關異分母分數加減法的認知結構。

2．新知識同原有認知結構中起固定作用的觀念之間的可辨別性。在學習中，如果學生原有認知結構中的有關內容（特別是那些在新的學習中起固定作用的內容）是按照一定的結構嚴密地組織起來的，面對新的學習任務，他們不僅能迅速地在認知結構中找到學習新知識的固定點，同時還能清楚地辨別出新舊知識之間的聯繫和區別，由此順利實現教材知識結構向學生數學認知結構的轉化。反之，如果學生不能清晰地辨認新舊知識之間的聯繫和區別，那麼在學習中學生就難以建立起以新的數學知識為內容的數學認知結構。如學習方程概念時，如果學生不清楚地辨認方程與等式的區別，他們就不能正確理解方程的意義，也就不能建立起方程的數學認知結構。由此表明，新舊知識內容之間的可辨別性也是影響學生數學認知結構形成的一個重要變數。

3．原有認知結構中起固定作用的觀念的穩定性和清晰性。在數學學習中，如果學生原有認知結構中的有關觀念（主要是指那些與新知識有密切聯繫的舊知識）不穩定甚至模糊不清，那麼這種認知結構就不僅不能為新的學習提供適當的關係和強有力的固定作用，而且還會影響新舊知識之間的可辨別性，進而影響新知識同原有認知結構之間的相互作用和數學認知結構的建立。比如學習分數的基本性質時，如果學生對原來已學過的分數與除法的關係和除法中商不變性質等舊知識的認識是模糊不清的，那麼他們就不能真正理解“分數的分子和分母同時乘以或者除以相同的數（零除外）分數的大小不變”的普遍規律。很明顯，只有學生原有認知結構中的相關內容既穩定又清晰，他們才能順利實現原有數學認知結構的擴充和新的數學認知結構的建立。

1．數學認知結構是數學知識結構與學生心理結構相互作用的產物。學生的數學認知結構是由教材知識結構轉化而來的，它一方面保留了數學知識結構的抽象性和邏輯性等特點，另一方面又融進了學生感知、理解、記憶、思維和想象等心理特點，它是科學的數學知識結構與學生心理結構相互作用、協調發展的結果。在其發展過程中兩者表現出互相影響、互相促進、辯證統一的發展態勢，一方面數學知識結構直接影響著學生心理結構的發展，不僅規定著數學認知結構的內容和發展方向，同：時還制約著學生感知、理解等心理活動的過程和方式；另一方面學生的心理結構又不斷地改造著數學知識結構，使數學知識結構變成與他們心理發展水平和認知特點相適應的數學認知結構。正是由於學生心理結構對數學知識結構的主觀改造，導致了學生數學認知結構的個體差異。

2．數學認知結構是學生已有數學知識在頭腦里的組織形式。從學生構建數學認知結構的過程和方式來看，他們都是以原有知識為基礎對新的數學知識進行加工改造或者適當調整自己的數學認知結構，然後按照一定的方式將所要學習的新知識內化到頭腦里，使新舊內容融為一體，形成相應的數學認知結構，並通過這種形式把所學數學知識儲存下來的。由此表明，就其形態而言，數學認知結構又是學生已獲得的數學知識和數學經驗在頭腦里的組織形式，這種組織形式反映了數學知識內化到學生頭腦里以後的結構狀態。有關研究表明，數學認知結構在學生頭腦里是呈板塊結構的。具體來講，源源不斷的新知識內化到頭腦里以後，在新舊內容相互作用的基礎上，學生將所掌握的數學知識形成若干系統，由此在頭腦里組成相應的數學知識板塊，板塊的大小和多少直接受所學數學知識內容的多少的制約和影響。呈板塊結構狀態的數學知識既便於儲存，又便於提取。

3．數學認知結構是一個不斷發展變化的動態結構。由於學生的數學認知結構是在後天的學習活動中逐步形成和發展起來的，所以它又是一個不斷發展變化的動態結構，其動態性主要表現在以下幾個方面。一是數學認知結構的建立要經歷一個逐步鞏固的發展過程。對某一具體數學知識的學習來說，學習初期，學生在老師的幫助下通過原有認知結構和新知識的相互作用，只能在頭腦里形成相應數學認知結構的雛形，其結構極不穩定，需要緊跟其後的有效練習和在後繼內容學習中的進一步應用，所形成的數學認知結構才能逐步鞏固和穩定。二是學生頭腦里的數學認知結構經過不斷分化逐步趨於精確。學習初期學生頭腦里形成的數學認知結構是籠統的，甚至是模糊的，隨著認知活動的不斷深入，他們頭腦里的數學知識經過不斷分化才能形成比較精確的數學認知結構。如學習三角形，學生首先獲得的是“由三條線段圍成的封閉圖形”、“三角形有三條邊、三個角”的籠統認識。隨著學習過程的不斷深入。學生會逐步發現：就角來講，三角形可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；從邊來看，三角形有等邊三角形、等腰三角形和不等邊三角形。這一過程的完成，標誌著學生對三角形有了比較精確的認識。三是學生的數學認知結構是逐步擴充和完善的。隨著學習過程的逐步深入和數學知識的不斷積累，學生的數學認知結構將會隨之不斷地擴充和完善。如有關整數乘法的認知結構，在二年級學生僅形成了一位數乘一位數（即表內乘法）的認知結構，在三年級又分別形成了一位數乘多位數和兩位數乘多位數的認知結構，在四年級又進一步形成了三、四位數乘法的認知結構。經過三年級的系統學習，學生最終才在頭腦里形成了一個相對完善的整數乘法認知結構，每次新的學習對學生原有認知結構來說都是一次新的擴充。

4．數學認知結構是一個多層次的組織系統。數學認知結構是一個相對的概念，它的內容是一個多層次的龐大系統。既可以是大到包括整個小學數學知識系統在內的數學認知結構，也可以是小到由一個概念或命題組成的數學認知結構。數學認知結構的層次性主要是由數學知識結構內部的層次性和邏輯系統性決定的，原則上數學知識有怎樣的分類，學生的數學認知結構就有怎樣的劃分。如分數可以分為真分數和假分數，假分數又可以分為整數和帶分數，相應地學生頭腦里的分數認知結構在層次上也可作出相應的劃分。數學認知結構的層次性還體現在認知結構的發展水平上，對小學生來講既有直觀水平上的數學認知結構，也有抽象化水平上的數學認知結構。

①曹才翰、蔡金法著《數學教育學概論》第52頁，江蘇教育出版社。

②張慶林主編《當代認知心理學在教學中的應用》第55頁，西南師範大學出版社。

③[美]奧蘇伯爾等著，余星南、守鈞譯《教育心理學──認知觀點》第202頁，人民教育出版社。

《小學數學教育》2001年第1-2期