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方程
數學術語
方程（equation）是指含有未知數的等式。是表示兩個數學式（如兩個數、函數、量徠、運算）之間相等關係的一種等式，使等式成立的未知數的值稱為“解”或“根”。求方程的解的過程稱為“解方程”。
通過方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多種形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，還可組成方程組求解多個未知數。
在數學中，一個方程是一個包含一個或多個變數的等式的語句。求解等式包括確定變數的哪些值使得等式成立。變數也稱為未知數，並且滿足相等性的未知數的值稱為等式的解。
早在3600年前，古埃及人寫在草紙上的數學問題中，就涉及了方程中含有未知數的等式。
公元825年左右，中亞細亞的數學家阿爾·花拉子米曾寫過一本名叫《對消與還原》的書，重點討論方程的解法。
方程中文一詞出自古代數學專著《“方”意為並列，“程”意為用算籌表示豎式。九章算術
卷第八（一）為：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？（現今有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍共有39斗；有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆，打出的黍共有34斗；有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍共有26斗。問1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少斗黍？）
答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉，四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之三。
方程術曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。余如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。余如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。
以上是出自《九章算術》中的三元一次方程組，並展示了用“遍乘直除”來消元以解此方程組。
魏晉時期的大數學家劉徽在公元263年前後為《九章算術》作了大量註釋，介紹了方程組：二物者再程，三物者三程，皆如物數程之。並列為行，故謂之方程。他還創立了比“遍乘直除”更簡便的“互乘相消”法來解方程組。
方程是含有未知數的等式，這是小學教材中的邏輯定義，而含未知數的等式嚴格說不一定是方程，如。方程嚴格定義如下:
形如的等式，其中和是在定義域的交集內研究的兩個解析式，且至少有一個不是常數。
方程一定是等式，但等式不一定是方程。
例子： 符合等式，有未知數。這個是等式，也是方程。
，。這兩個式子符合等式，但沒有未知數，所以都不是方程。
在定義中，方程一定是等式，但是等式可以有其他的，比如上面舉的，，都是等式，顯然等式的範圍大一點。
1.移項變號：把方程中的某些項帶著前面的符號從方程的一邊移到另一邊，並且加變減，減變加，乘變除以，除以變乘；
2.等式的基本性質
性質1
等式兩邊同時加(或減)同一個數或同一個代數式，所得的結果仍是等式。用字母表示為：若，c為一個數或一個代數式。則：
(1) (2)
性質2
等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數，所得的結果仍是等式。
用字母表示為：
若，c為一個數或一個代數式（不為0）。則：
或
性質3
若,則（等式的對稱性）。
性質4
若,則（等式的傳遞性）。
方法一：1.能計算的先計算； 2.轉化——計算——結果
方法二：從前往後算，算到只剩一個數時便可直接計算。
方程式或簡稱方程，是含有未知數的等式。即：⒈方程中一定有含一個或一個以上未知數的代數式；2.方程式是等式，但等式不一定是方程。
未知數：通常設x.y.z為未知數，也可以設別的字母，全部小寫字母都可以。
“次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似。指的是含有未知數的項中，未知數次數最高的項。而次數最高的項，就是方程的次數。
“解”：方程的解，指使，方程的根是方程兩邊相等的未知數的值，指一元方程的解，兩者通常可以通用。
解方程：求出方程的解的過程，也可以說是求方程中未知數的值的過程，或說明方程無解的過程叫解方程。
方程中，恆等式叫做恆等方程，矛盾式叫做矛盾方程。在未知數等於某特定值時，恰能使等號兩邊的值相等者稱為條件方程，例如，在 時等號成立。使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。
同解方程：
如果兩個方程的解相同，那麼這兩個方程叫做同解方程。
方程的同解原理：
⒈方程的兩邊都加或減同一個數或同一個等式所得的方程與原方程是同解方程。
⒉方程的兩邊同乘或同除同一個不為0的數所得的方程與原方程是同解方程。
整式方程：方程的兩邊都是關於未知數的整式的方程叫做整式方程。
分式方程：分母中含有未知數的方程叫做分式方程。
只含有一個未知數，且未知數次數是一的整式方程叫一元一次方程（linear equation with one unknown）。通常形式是(a，b為常數，且a≠0）。
一般解法
● ● 去分母 方程兩邊同時乘各分母的最小公倍數。
● ● 去括弧 一般先去小括弧，再去中括弧，最後去大括弧。但順序有時可依據情況而定使計算簡便。可根據乘法分配律。
● ● 移項 把方程中含有未知數的項移到方程的另一邊，其餘各項移到方程的另一邊移項時別忘記了要變號。(一般都是這樣：（比方）從 得到 ；把未知數移到一起！
● ● 合併同類項 將原方程化為的形式。
● ● 化係數為一 方程兩邊同時除以未知數的係數。
● ● 得出方程的解。
例如：
解：
（註：解方程時最好把等號對齊）
教學目標
● ● 使學生初步掌握一元一次方程解簡單應用題的方法和步驟；並會列出一元一次方程解簡單的應用題
● ● 培養學生觀察能力，提高他們分析問題和解決問題的能力
● ● 使學生初步養成正確思考問題的良好習慣．
重點難點
一元一次方程解簡單的應用題的方法和步驟．
教學過程
一、從學生原有的認知結構提出問題
在小學算術中，我們學習了用算術方法解決實際問題的有關知識，那麼，一個實際問題能否應用一元一次方程來解決呢？若能解決，怎樣解？用一元一次方程解應用題與用算術方法解應用題相比較，它有什麼優越性呢？
為了回答上述這幾個問題，我們來看下面這個例題．
例1 某數的3倍減2等於某數與4的和，求某數．
(首先，用算術方法解，由學生回答，教師板書)
解法1：．
答：某數為3．
(其次，用代數方法來解，教師引導，學生口述完成)
解法2：設某數為x，則有
解：
解之，得．
答：某數為3．
縱觀例1的這兩種解法，很明顯，算術方法不易思考，而應用設未知數，列出方程並通過解方程求得應用題的解的方法，有一種化難為易之感，這就是我們學習運用一元一次方程解應用題的目的之一．
我們知道方程是一個含有未知數的等式，而等式表示了一個相等關係．因此對於任何一個應用題中提供的條件，應首先從中找出一個相等關係，然後再將這個相等關係表示成方程．
本節課，我們就通過實例來說明怎樣尋找一個相等的關係和把這個相等關係轉化為方程的方法和步驟．
二、師生共同分析、研究一元一次方程解簡單應用題的方法和步驟
例2 某麵粉倉庫存放的麵粉運出 15%后，還剩餘42500千克，這個倉庫原來有多少麵粉？
師生共同分析：
● ● 本題中給出的已知量和未知量各是什麼？
● ● 已知量與未知量之間存在著怎樣的相等關係？(原來重量-運出重量=剩餘重量)
● ● 若設原來麵粉有x千克，則運出麵粉可表示為多少千克？利用上述相等關係，如何布列方程？
上述分析過程可列表如下：
解：設原來有x千克麵粉，那麼運出了15%x千克，由題意，得x-15%x=42500，
x-15%x=42500
解：(1-15%)x=42500
85%x=42500
x=42500÷85%
x=50000
所以 x=50000．
答：原來有 50000千克麵粉．
此時，讓學生討論：本題的相等關係除了上述表達形式以外，是否還有其他表達形式？若有，是什麼？
(還有，原來重量=運出重量+剩餘重量；原來重量-剩餘重量=運出重量)
教師應指出：(1)這兩種相等關係的表達形式與“原來重量-運出重量=剩餘重量”，雖形式上不同，但實質是一樣的，可以任意選擇其中的一個相等關係來列方程
(2)例2的解方程過程較為簡捷，同學應注意模仿．
依據例2的分析與解答過程，首先請同學們思考列一元一次方程解應用題的方法和步驟；然後，採取提問的方式，進行反饋；最後，根據學生總結的情況，教師總結如下：
(1)仔細審題，透徹理解題意．即弄清已知量、未知量及其相互關係；用字母(如x)表示題中的未知數
(2)根據題意找出相等關係．(這是關鍵一步)
(3)根據相等關係，正確列出方程．即所列的方程應滿足兩邊的量要相等；方程兩邊的代數式的單位要相同；題中條件應充分利用，不能漏也不能將一個條件重複利用等
(4)求出所列方程的解
(5)檢驗后明確地、完整地寫出答案．這裡要求的檢驗應是，檢驗所求出的解既能使方程成立，又能使應用題有意義．
人教版7年級數學下冊第四章會學到，冀教版7年級數學下冊第九章會學到。在人教版九年級上英語講愛因斯坦時也會涉及
● 二元一次方程定義：一個含有兩個未知數，並且未知數的次數都是1的整式方程，叫二元一次方程(linear equation of two unknowns)。
● 二元一次方程組定義：由兩個二元一次方程組成的方程組，叫二元一次方程組(system of linear equation of two unknowns)。
● 二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解。
● 二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個公共解，叫做二元一次方程組的解。
一般解法
消元：將方程組中的未知數個數由多化少，逐一解決。
消元的方法有兩種：
替代擦除源
例：解方程組
解：由①得
把③帶入②，得解得
把帶入③，得即
所以
這種解法就是代入消元法。
加減消元
例：解方程組
解：①+②，得，即
把帶入①，得，解得
∴
這種解法就是加減消元法。
二元一次方程組的解有三種情況：
1.有一組解
如方程組① 的解為。
2.有無數組解
如方程組① ②，因為這兩個方程實際上是一個方程（亦稱作“方程有兩個相等的實數根”），所以此類方程組有無數組解。
3.無解
如方程組① ②，因為方程②化簡後為，這與方程①相矛盾，所以此類方程組無解。
含有一個未知數，並且未知數的最高次數是2的整式方程，這樣的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown)。
由一次方程到二次方程是個質的轉變，通常情況下，二次方程無論是在概念上還是解法上都比一次方程要複雜得多。
一般解法
一般解法有四種：
⒈公式法（直接開平方法）
⒉配方法
3.因式分解法
4.十字相乘法
十字相乘法能把某些二次三項式分解因式。這種方法的關鍵是把二次項係數a分解成兩個因數a1,a2的積a1·a2，把常數項c分解成兩個因數c1,c2的積c1·c2，並使a1c2+a2c1正好是一次項b，那麼可以直接寫成結果：在運用這種方法分解因式時，要注意觀察，嘗試，並體會它實質是二項式乘法的逆過程。當首項係數不是1時，往往需要多次試驗，務必注意各項係數的符號。
例1 把分解因式。
分析：先分解二次項係數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數項，分
別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然後交叉相乘，求代數和，使其等於一次項係數.
分解二次項係數(只取正因數)：
分解常數項：
.
用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：
經過觀察，第四種情況是正確的，這是因為交叉相乘后，兩項代數和恰等於一次項係數－7.
解為：。
一般地，對於二次三項式，如果二次項係數a可以分解成兩個因數之積，即，常數項c可以分解成兩個因數之積，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
像這種藉助畫十字交叉線分解係數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
總結：
①徠 型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1；常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和。因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解：②型的式子的因式分解
如果能夠分解成，且有 時，那麼
1．直接開平方法：
直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如 的
方程，其解為 .
2．配方法：用配方法解方程
先將常數c移到方程右邊：
將二次項係數化為1：
方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方：
方程左邊成為一個完全平方式右邊通過計算得到一個常數：
最後使用直接開平方法求解
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式的值，當時，無解；方程當時，把各項係數a, b, c的值代入求根公式 就可得到方程的根。
4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓
兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
二元二次方程：含有兩個未知數且未知數的最高次數為2的整式方程。
與二元一次方程類似，三個結合在一起的
某地區為了鼓勵節約用水，對自來水的收費標準作如下規定：每月每戶用水不超過10噸按0.9元/噸收費；超過10噸而不超過20噸按1.6元/噸收費；超過20噸的部分按2.4元/噸收費。某月甲用戶比乙用戶多繳水費16元，乙用戶比丙用戶多繳水費7.5元。已知丙用戶用水不到10噸，乙用戶用水超過10噸但不到20噸。問：甲。乙。丙三用戶該月各繳水費多少元(按整噸計算收費)?
解：設甲用水x噸，乙用水y噸，丙用水z噸
顯然，甲用戶用水超過了20噸
故甲繳費：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23
乙繳費：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-9
丙繳費：0.9z
2.4x-23=1.6y-7+16
1.6y-7=0.9z+7.5
化簡得
3x-2y=40……(1)
16y-9z=145……(2)
由(1)得x=(2y+40)/3
所以設y=1+3k,3
當k=4,y=13,x=22,代入(2)求得z=7
當k=5,y=16,代入(2),z沒整數解
當k=6,y=19,代入(2),z沒整數解
所以甲用水22噸，乙用水13噸，丙用水7噸
甲用水29.8元，乙用水13.8元，丙用水6.3元
設方程組①：
把方程(1)×(-i1/a1)加到（i）上，再把方程(2)×(-i2/a2)加到（i）上，以此類推。
最後的許多0=0可以捨去，不影響方程的解。可以分三種情況：
（1）cr+1≠0
此時，滿足前r各方程的任意一個解，都不能滿足0=cr+1這個方程，所以②無解，所以①也無解
當cr+1=0時，又分兩種情況：
（2）r=n
因為bii≠0,所以從最後一個方程可解出xn。然後代入第r-1個方程，解出xn-1。如此類推，可得出方程組②的唯一解，就是方程組①的唯一解。
（3）r
可把方程組該成他的同解方程組③：
b11 x1+b12 x2+b13 x3+…+b1r xr=c1-b1,r+1 xr+1-…-b1n xn
b22 x2+b13 x3+…+b2n xr=c2-b2,r+1 xr+1-…-b2n xn
………………
brr xr=cr-br,r+1 xr+1-…-brn xn
設等號後面的數是已知數，按照（2）的方法來解，可解得：
x1=d11 xr+1+d12 xr+2+…+d1,nr xn
x2=d21 xr+1+d22 xr+2+…+d1,nr xn
………………
xr = dr1 xr + 1 + dr2 xr + 2 +… + dr, nr xn
令自由未知量xr+i=ki(i∈N且i∈[1，n-r])可得方程組的全部解：
x1=d11 k1+d12 k2+…+ d1,nr kn-r
x2=d21 k1+d22 k2+…+d1,nr kn-r
………………
xr = dr1 k1 + dr2 k2 +… + dr, nr kn-r
xr + 1 = k1
xr+2=k2
…………
xn=kn-r
（此法只適用於m=n且D≠0的方程組）
設係數行列式D=∣a ij∣,Di是D把i列換成結果的行列式
那麼xi=Di/D(i∈N且i∈[1，n])
矩陣和向量解法
矩陣解法即把方程組①的增廣矩陣進行初等行變化。
向量解法即把方程組①改寫成的形式。
先求出方程組的特解η，然後求其對應導出組Ax=0的解。
方程組的解為：。
(1)一般式： Ax+By+C=0 (其中A、B不同時為0) 適用於所有直線
直線l1：A1x+B1y+C1=0
直線l2：A2x+B2y+C2=0
兩直線平行時：A1/A2=B1/B2≠C1/C2
兩直線垂直時：A1A2+B1B2=0
兩直線重合時：A1/A2=B1/B2=C1/C2
兩直線相交時：A1/A2≠B1/B2
(2)點斜式：知道直線上一點,並且直線的斜率k存在，則直線可表示為 。當k不存在時，直線可表示為
(3)截距式：若直線與x軸交於(a,0),與y軸交於(0,b),則直線可表示為：。所以不適用於和任意坐標軸垂直的直線和過原點的直線。
(4)斜截式：
(5)兩點式：若直線過任意兩點，且，則直線可以表示為
(6)法線式：
一般地，n元一次方程就是含有n個未知數，且含未知數項次數是1的方程，一次項係數規定不等於0
n元一次方程組就是幾個n元一次方程組成的方程組（一元一次方程除外）
一元a次方程就是含有一個未知數，且含未知數項最高次數是a的方程（一元一次方程除外）
一元a次方程組就是幾個一元a次方程組成的方程組（一元一次方程除外）
n元a次方程就是含有n個未知數，且含未知數項最高次數是a的方程（一元一次方程除外）
n元a次方程組就是幾個n元a次方程組成的方程組（一元一次方程除外）
方程（組）中，未知數個數大於方程個數的方程（組）叫做不定方程（組），此類方程（組）一般有無數個解。
解法1：（兔的腳數×總只數－總腳數）÷（兔的腳數－雞的腳數）=雞的只數
總只數－雞的只數=兔的只數
解法2：（總腳數－雞的腳數×總只數）÷（兔的腳數－雞的腳數） =兔的只數
總只數－兔的只數=雞的只數
解法3：總腳數÷2—總頭數=兔的只數
總只數—兔的只數=雞的只數
解法4（方程）：X=總腳數÷2—總頭數（X=兔的只數）
總只數—兔的只數=雞的只數
解法5（方程）：X=（總腳數－雞的腳數×總只數）÷（兔的腳數－雞的腳數）（X=兔的只數）
總只數—兔的只數=雞的只數
解法6（方程）：X=（兔的腳數×總只數－總腳數）÷（兔的腳數－雞的腳數）（X=雞的只數）
總只數－雞的只數=兔的只數
若用方程解雞兔同籠問題，公式為：雞腳+兔腳=總腳數。
雞為x
例籠中共有30隻雞和兔，數一數足數正好是100隻。問雞和兔各有多少只？
解：設雞為x只，則兔為只。
解：
答：雞有10隻，兔有20隻。
兔為x
例籠中共有雞兔100隻，雞兔足數共248隻。問雞兔各有多少只？
解：設兔為x只，則雞為只。
解：
答：雞有76隻，兔有24隻。
微分方程指描述未知函數的導數與自變數之間的關係的方程。微分方程的解是一個符合方程的函數。而在初等數學的代數方程，其解是常數值。詳見微分方程
微分方程是將一些函數與其導數相關聯的數學方程。在應用中，函數通常表示物理量，衍生物表示其變化率，方程定義了兩者之間的關係。因為這種關係是非常常見的，微分方程在包括工程，物理，經濟學和生物學在內的許多學科中起著突出的作用。
在純數學中，微分方程從幾個不同的角度進行研究，主要涉及到它們的解 - 滿足方程的函數集。只有最簡單的微分方程可以通過顯式公式求解；然而，可以確定給定微分方程的解的一些性質而不找到其確切形式。
如果解決方案的自包含公式不可用，則可以使用計算機數值近似解決方案。動力系統理論強調了微分方程描述的系統的定性分析，而已經開發了許多數值方法來確定具有給定精確度的解決方案。
普通微分方程或ODE是包含一個獨立變數及其導數的函數的方程式。與“偏微分方程”相比，術語“普通”與對於多於一個的獨立變數相關。
具有可以被加上和乘以係數的解的線性微分方程被明確定義和理解，並且獲得精確的閉合形式的解。相比之下，缺乏添加劑解決方案的ODE是非線性的，解決它們是非常複雜的，因為很少以封閉形式的基本函數表示它們：相反，ODE的精確和分析解決方案是串聯或整體形式。通過手動或計算機應用的圖形和數值方法可以近似ODE的解，並且可能產生有用的信息，通常在沒有精確的解析解的情況下就足夠了。
偏微分方程（PDE）是包含未知多變數函數及其偏導數的微分方程。 （這與處理單個變數及其派生詞的函數的普通微分方程相反）。PDE用於制定涉及幾個變數的函數的問題，或者手動解決或用於創建相關的計算機模型。
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