階乘函數

一個正整數的階乘（英語：factorial）是所有小於及等於該數的正整數的積，並且有0的階乘為1。自然數n的階乘寫作。1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法。

亦即。階乘亦可以遞歸方式定義：。

階乘亦可定義於整個實數（負整數除外），其與伽瑪函數的關係為：

的可質因子分解為，如。

計算時，當n不太大時，普通的科學計算機都可以計算，能夠處理不超過數值的計算機可以計算至。

當n很大時，可以用斯特林公式估計：

更精確的估計是：

其中

階乘的定義可推廣到複數，其與伽瑪函數的關係為：

伽瑪函數滿足。

遞進階乘：

遞降階乘：

表示雙階乘，其定義為：

無視上述定義的因為即使值的N，雙階乘為奇數可擴展到最實數和複數z的注意到，當z是一個正的奇數則：

定義為所有複數除負偶數。

使用它的定義，半徑為R的n維超球其體積可表示為：

被稱為n的k重階乘，定義為：

能將多重階乘推廣到複數（甚至是四元數）：

hyper階乘（hyperfactorial有時譯作過度階乘）寫作，其定義為：

hyper階乘和階乘差不多，但產生更大的數。hyper階乘的增長速度卻並非跟一般階乘在大小上相差很遠。前幾項的hyper階乘為：

1995年，尼爾·斯洛恩和西蒙·普勞夫定義了超級階乘（superfactorial）為首n個階乘的積。一般來說

階冪也稱疊冪或者重冪記作（感嘆號！寫在自然數的右上角），它的定義是將自然數1至n的數由大到小作冪指數重疊排列，數學定義如下：

其中，前幾項的重冪數為：

第5個重冪數是一個有183231位阿拉伯數字組成的超大自然數。

二次階冪：

相應地，m次階冪定義如下：

其中，且。