函數定義域

f(x）是函數的符號（y），f代表法則，y它代表函數圖象上每一個點的縱坐標的數值，因此函數圖像上所有點的縱坐標構成一個集合，這個集合就是函數的值域。x是自變數，它代表著函數圖象上每一點的橫坐標，自變數的取值範圍就是函數的定義域。f是對應法則的代表，它可以由f(x）的解析式決定。例如：,f代表的是把自變數x先平方再加1。的取值範圍就是的值域。如果說你弄清了上述問題，僅僅是對函數f(x）有了一個初步的認識，我們還需要對f(x）有更深刻的了解。

我們可以從以下幾個方面來認識f(x）。

第一：對代數式的認識。每一個代數式它的本質就是一個函數。像這個代數式，它就是一個函數，其自變數是x，對x的每一個值都有唯一的值與之對應，所以的所有值的集合就是這個函數的值域。

第二：對抽象數的認識，對於一個沒有具體解析式的抽象函數，由於我們不知道它的具體對應法則也難以知道它的自變、定義域、值域，很難理解它的符號及其意義。

例如：的自變數是什麼呢？它的對應法則還是f嗎？的自變數是x,它的對應法則不是f。

我們不妨作如下假設，如果，那麼,與這個代數式相等，即：的自變數就是的自變數。的對應法則是先把自變數加1再平方，然後再加上1。

再如，與是同一個函數嗎？

只須列舉一個特殊函數說明。

顯然，f(x）與f(t）它們的對應法則是相同的，如果x的取值範圍與 t的取值範圍是相同的，則f(x）與f(t）就是相同的函數，否則，它們就是對應法則相同而定義域不同的函數了。

例：已知 ，的定義域為，求解析式和定義域

設，則；，那麼用t表示自變數f的函數為：（也就是把代入中）

所以，，則

或者用這樣的方法——更直觀：

令 中的，這樣就更直觀了，把代入，那麼：

所以，

而f(x）與f(t）必須x與t的取值範圍相同，才是相同的函數，

由的定義域為，可知道：

的定義域為：

綜上所述，

由若干個基本函數通過四則運算形成的函數，其定義域為使得每一部分都有意義的公共部分。

原則：（1）分式的分母不能為零；（2）偶次方根的內部必須非負即大於等於零；（3）對數的真數為正，對數的底數大於零且不等於1。

若，則就叫做f和g的複合函數。其中叫做外函數，叫做內函數。

例如：（1）已知的定義域，求的定義域。

解法：解不等式。

（2）已知的定義域，求的定義域。

解法：求函數的值域。

（高中函數定義）設A，B是兩個非空的數集，如果按某個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數和它對應，那麼就稱f：為集合A到集合B的一個函數，記作，x屬於集合A。其中，x叫作自變數，x的取值範圍A叫作函數的定義域；

如果一個函數是具體的，它的定義域我們不難理解。但如果一個函數是抽象的，它的定義域就難以捉摸。

例如：的定義域相同嗎？值域相同嗎？如果已知f(x）的定義域是的定義域是什麼？

因為f(x）的定義域是，即是說對中的每一個數值f(x）都有函數值，超出這個範圍內的任何一個數值f(x）都沒有函數值。例如3就沒有函數值，即f⑶就無意義。因此，當的取值超出了這個範圍，也就沒有了函數值，所以的定義域是這個不等式的解集；所以解得，此時x的定義域為（定義域總是指x能取的範圍與經過括弧內變換后的範圍不同）。定義域發生了改變。但是值域還是相同的，因為f進行變換的範圍沒有改變。

我們還可以通過函數圖象來進行理解，相當於把f(x)向左平移了一個單位，而仍要與原函數結果相同，所以定義域也要向左平移一位。

看是不是同一個函數，既要看對應法則f（），也要看定義域是否相同。如果都相同，值域自然也相同，就能證明是同一個函數。（注意：如果只知值域、對應法則不能推出定義域 如有多種可能）

（是不是統一函數只要看（）前面的字母是不是同一個，注意大小寫也要一樣才是同一函數）

題目中的“已知函數f(x）”中的x是一個抽象的概念，

x可以代表f（）括弧中任意表達式，

如果他的定義域是（a,b）

那麼，和的定義域（定義域都是指括弧內x的取值範圍）都不是

就高中課程而言，函數定義域是說函數f（x）中，x的取值範圍。

二、求函數的定義域：

求函數的定義域：

分母不等於0;

根號內大於等於0;

對數底數大於0且不等於1，真數大於0；

值域定義

函數中，因變數的取值範圍叫做函數的值域，在數學中是函數在定義域中應變數所有值的集合

常用的求值域的方法

（1）化歸法；（2）圖象法（數形結合）

（3）函數單調性法，

（4）配方法，（5）換元法，（6）反函數法（逆求法），（7）判別式法，（8）複合函數法，（9）三角代換法，（10）基本不等式法等

關於函數值域誤區

定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本“元件”。平時數學中，實行“定義域優先”的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或淡化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學生對函數的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄彼，何況它們二者隨時處於互相轉化之中（典型的例子是互為反函數定義域與值域的相互轉化）。如果函數的值域是無限集的話，那麼求函數值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時並不能奏效，還必須聯繫函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利於對定義域內函的理解，從而深化對函數本質的認識。

“範圍”與“值域”相同嗎？

“範圍”與“值域”是我們在學習中經常遇到的兩個概念，許多同學常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。“值域”是所有函數值的集合（即集合中每一個元素都是這個函數的取值），而“範圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都滿足這個條件）。也就是說：“值域”是一個“範圍”，而“範圍”卻不一定是“值域”。