判別式法

可以判斷方程有沒有根以及有幾個根，無根，有兩個相等根即一個根，有兩個不相等根

可用判別式法簡化為關於x的二次方程。

例如，附加限制條件，求y的最大值。

由於兩根之積為1，說明兩根同號，那就必然是同正，所以兩根之和為正，也就是。

定義域非R有兩種情況

第一種：被摳掉了一點或兩點（不會考多）只需檢驗即可（至於具體如何檢驗：應當理解，判別式法的原理在於求x有解情況下y的範圍這解可能為兩個也可以為一個也就是說即使摳掉的那個點在某y值下是一個解只要此時判別式不等於零也就是還有另外的解而那個解在定義域內則該y值就可以取到理解到這裡就行了）

第二種也就是諸如。這種一般有兩種考慮方法。

第一種就是從正面考慮，也就是在判別式大於等於零下，分為“一個解大於零另一個解小於等於零”和“兩解均大於零（包含兩解相等）”兩種可能具體方法。須用韋達定理求解。

還可以從反面考慮，也就是在判別式大於等於零下排除兩解都小於等於零的情況

還有種可能就是定義域為。

此情況，只需參照上面方法，將轉化為這種形式即可。若求和亦然。

應當提的是當遇到第二種情況（即並非摳點的情況）時，適用判別式法的題就比較少了，那樣會比較麻煩。

應清楚解題方法。比如如下例題，最簡單就是把x除下來，然後求均值就可結束。

例1.求函數的值域。

解：將原函數變形得，把此方程看作關於x的一元二次方程，該方程一定有解，利用方程有解的條件求得y的取值範圍，即為原函數的值域。

當時，（說明函數值可以為0）。

當時，令，解得

故原函數的值域為

例2.已知，且，試求實數a、b為何值時，ab取得最大值。

解：構造關於a的二次方程，應用“判別式法”。設（1）

由已知得（2）

由（1）（2）消去，對a整理得（3）

對於（3），由，解得或。由，捨去，得。

把代入（3）（注意此時），得，即從而。

故當時，取得最大值為18。

例3.已知。證明：恆成立。

解：不等式變形為

將不等式左邊看作關於y的二次函數，令。由，從而有：

，即。

對於二次函數，圖象開口向上，且在x軸上方，所以恆成立，即恆成立。

例4.對於函數，若存在，使成立，則稱為的不動點。已知函數，對於任意實數，函數恆有兩個相異的不動點，求a的取值範圍。

解：對任意實數b，恆有兩個相異的不動點對任意實數恆有兩個不等實根對任意實數b，恆有兩個不等實根對任意實數恆成立。

可以將看作關於b的二次函數，則對任意實數恆成立

故的取值範圍是